jueves, 27 de junio de 2013

Fin de temporada


Con la costumbre de descansar en los meses de Julio y Agosto, este blog, como las series de televisión, lo puedo clasificar en “temporadas”. Aquí acaba la quinta, en la entrada 308. Mirando hacia atrás me admiro de haber podido mantenerlo ese tiempo, pues, como le confesaba a un amigo, me requiere mucho esfuerzo la búsqueda y desarrollo de los temas, que por su especial índole, no son fáciles para mí.

Como en anteriores “temporadas”, una publicación recogerá las entradas ya ordenadas y revisadas. También con ellas se actualizarán los documentos de tipo temático, algunos de ellos de forma importante.


Pero eso queda para Septiembre. Hasta entonces, mis saludos afectuosos para todas las personas que siguen el blog.

domingo, 23 de junio de 2013

Como en casita en ningún sitio


Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas edición Edición 4,12310, cuyo anfitrión es el blog Geometría dinámica.

A partir de un número natural se pueden definir muchas funciones de variable entera. Sólo algunas de ellas tienen la propiedad de que, en valores particulares, sus cifras son una subcadena (substring) de las propias cifras del número elegido expresado en base decimal.

Ya tocamos este tema, pero con múltiplos (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/04/los-multiplos-acunan.html). Ahora lo haremos con funciones.

Por ejemplo, si sumamos las cifras de un número en el sistema decimal el resultado constituye una función de ese número. Pues bien, en algunos casos, la expresión de la suma de sus cifras está incluida en el conjunto ordenado de las cifras del número. Es lo que ocurre con el 2711, cuya suma de cifras, 11, es una subcadena de 2711. Son muchos los números que tienen esa propiedad. Aquí tienes los primos que la cumplen:

2, 3, 5, 7, 109, 139, 149, 179, 199, 911, 919, 1009, 1063, 1109, 1163, 1181, 1327, 1381, 1409, 1427, 1481, 1609, 1627, 1663, 1709, 1811, 2099, 2137, 2399, 2699, 2711,…
http://oeis.org/A052019

y en esta tienes todos los casos, primos o compuestos http://oeis.org/A052018
Puedes comprobar cualquiera de ellos.

Otros presentan una propiedad similar con una función tan sofisticada como la indicatriz de Euler (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/07/la-herencia-de-euclides-5-la-funcion.html)

1, 1320, 1640, 1768, 1996, 2640, 3960, 13200, 16400, 19984, 19996, 26400, 39600, 132000, …

Los puedes consultar en http://oeis.org/A067206 y además leer las interesantes propiedades que tienen.

En estos números sus cifras son como la gran casa que acoge a una función concreta. Hay más casos:

15, 25, 125, 1537, 3977, 11371, 38117, 110317, 117197, 123679, 143323, 146137, 179297, 197513, 316619, 390913, 397139, 399797, 485357, 779917, 797191, 990919… contienen las cifras de su mayor divisor propio (http://oeis.org/A062238)

http://oeis.org/A118669 con el radical en los no libres de cuadrados.

Y existen más curiosidades: http://oeis.org/A198298, http://oeis.org/A018834, http://oeis.org/A073175

Propiedades presentadas por este blog

Aportamos algo más: buscaremos funciones que en ciertos números estén como “en casita” dentro de sus cifras.

Suma de partes alícuotas

Existen números compuestos (en los primos esto carece de interés) en los que la suma de sus partes alícuotas (divisores de N menores que N) tienen sus cifras incluidas como cadenas en las suyas propias. Son estos:

6, 28, 121, 437, 496, 611, 1331, 1397, 8128, 10201, 14641, 27019, 40301, 40991, 41347, 41917, 45743, 47873, 49901, 51101, 67997, 76459, 97637, 99101, 99553, 99779, 120353, 133307, 133961, 134179, 153091, 161051, 165101, 165743, 166171, 182525, 186503, 190987, 193121, 357101, 357307, 359573, 360397, 418153, 464353, 924611…

Los hemos publicado en https://oeis.org/A225417. Recuerda que sólo consideramos los compuestos.

Entre ellos están los números perfectos. Razona el porqué. Todos los demás es claro que son deficientes e impares. Como el razonamiento es un poco largo, lo dejamos para el final (ver Complemento abajo) y así, si no te apetece leerlo, no te estorba para ver los siguientes.

Un código PARI para obtenerlos puede ser

indigit(a,b)={ u=Vec(Str(a));v=Vec(Str(b));indi=0;la=#u;lb=#v;i=1;while(i<=la-lb+1&&indi==0,d=0;for(x=1,lb,if(v[x]==u[i+x-1],d+=1));indi=(d==lb) ;i+=1);return(indi)} 
{ for(i=4,10^7,if(indigit(i,sigma(i,1)-i)&&isprime(i)==0,print(i)))}

Se presentan casos espectaculares, como 161051, cuya suma de partes alícuotas es 16105, y 182525 con suma 82525

Suma de factores primos con repetición

Hemos experimentado con nuestra querida función SOPFR (logaritmo entero: http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2009/11/logaritmo-entero-1.html, suma de factores primos con repetición). Como en el caso de los números primos la propiedad es trivial (¿por qué?), hemos buscado la propiedad sólo para compuestos y los primeros son estos:

4, 18, 144, 150, 168, 175, 198, 220, 230, 242, 246, 255, 322, 366, 444, 624, 1166, 1243, 1323, 1330, 1331, 1462, 1480, 1530, 1992, 2187, 2230, 2240, 2406, 2436, 2625, 2650, 2673, 2730, 2744, 2808, 2925, 3024, 3125, 3182, 3264, 3286, 3366, 3388, 3420, 3484, 3591…

Un caso notable es el de 1330 y 1331, ambos con el mismo valor de SOPFR. En efecto, 1330=2*5*7*19, con suma 33 y 1331=11*11*11 con igual suma.

Una subsucesión de este ejemplo la tienes en http://oeis.org/A143992

Suma de factores primos sin repetición

Con la función afín a la anterior SOPF (suma de los factores primos sin repetir) también existen números que poseen la propiedad

Son estos

25, 32, 54, 98, 125, 126, 128, 140, 196, 230, 243, 246, 255, 256, 315, 322, 348, 366, 392, 512, 520, 576, 625, 810, 828, 896, 1024, 1029, 1060, 1080, 1152, 1166…

Es fácil comprender que tienen menos interés porque en la potencias de primos resulta más fácil su cumplimiento. Los hemos incorporado a OEIS: https://oeis.org/A225418

Se obtienen con el código PARI

indigit(a,b)={ u=Vec(Str(a));v=Vec(Str(b));indi=0;la=#u;lb=#v;i=1;while(i<=la-lb+1&&indi==0,d=0;for(x=1,lb,if(v[x]==u[i+x-1],d+=1));indi=(d==lb) ;i+=1);return(indi)} 
sopf(n)= { local(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); return(s) } 
{ for(i=2,10^5,if(indigit(i,sopf(i))&&isprime(i)==0,print(i)))}

Destaca el caso de 1243, cuyos divisores primos son 111 y 13, y su suma sopf(1243)=111+13=124, que sólo se diferencia del número en un 3.

Función TAU

La función TAU cuenta el número de divisores de un número. También ella puede ser una subcadena. Lo es en muchos ejemplos, por lo que es menos interesante

Aquí tienes un listado de los primeros:

2, 14, 23, 29, 34, 46, 63, 68, 74, 76, 78, 88, 94, 116, 126, 127, 128, 134, 138, 141, 142, 143, 145, 146, 164, 168, 180, 182, 184, 186, 189, 194, 196, 211, 214, 216, 223, 227, 229, 233, 236, 238, 239, 241, 247, 248, 249, 251, 254, 257, 258, 261, 263, 268, 269, 271, 274, 277, 281, 282

PARI para obtenerlos:

indigit(a,b)={ u=Vec(Str(a));v=Vec(Str(b));indi=0;la=#u;lb=#v;i=1;while(i<=la-lb+1&&indi==0,d=0;for(x=1,lb,if(v[x]==u[i+x-1],d+=1));indi=(d==lb) ;i+=1);return(indi)} 
{ for(i=1,1000,if(indigit(i,sigma(i,0)),print(i)))}

Otros casos de menos interés

Los ejemplos que presentaremos a continuación como simples curiosidades provienen de listados mayores, en los que abundan los casos triviales. Con eso se aumentan excesivamente los números y se llega a hacer aburrido. Hemos preferido presentar los destacados.

Con divisores de cierto tipo

En casi todos los casos aparecen demasiadas soluciones, con muchos casos triviales que le quitan interés. Destacamos algunos:

* 11371 contiene a su mayor divisor impar propio, 137
* Si a 22742 le suprimes las cifras extremas se convierte en su mayor divisor par propio, 274.
* Igual le ocurre a 31218 con su mayor divisor cuadrado 121. También 36250 se convertiría en 625.
* Si a 11300 le suprimos las cifras extremas se convierte en su suma de divisores cuadrados: 130=100+25+4+1
* 5145 contiene a la suma de sus divisores triangulares: 145=105+21+15+3+1
* Por último, 1584 contiene a la suma de sus divisores que pertenecen a la sucesión de Fibonacci: 158=144+8+3+2+1

Esto hay que tomarlo como un pasatiempo sin mayor interés.

Otros ejemplos:

La parte cuadrada de un número o la parte libre (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre.html)

Con la parte cuadrada tienes dos ejemplos sencillos pero no triviales: 9225 contiene a su parte cuadrada 225, porque 9225=15^2*41, y 10625=5^4*17 contiene a su parte cuadrada 625. Intenta otros ejemplos.

Con la parte libre podemos destacar como menos triviales 2835, que contiene a su parte libre 35 (comprueba que es así) o el número 2772=2^2-3^2*7*11 que contiene a 77=7*11

Bigomega cuenta los divisores primos con repetición. Con bigomega destacamos estos:



Se ha adjuntado la factorización (cada primo con su exponente) para que los compruebes.

Adjuntamos ahora la demostración anunciada:

Complemento

Si un número aloja a una función suya como substring, la relación entre sus valores está limitada por unas desigualdades fáciles de obtener. Si ambos números son iguales, en el caso de las partes alícuotas resultaría un número perfecto. Dejamos ese caso.

Si los números no son iguales, sino que la relación de substring es estricta, las cifras alojadas pueden ser las primeras, como cuando 2187 aloja a su función SOPFR 21, estar en el interior rodeadas por otras cifras, como 1331 con sopfr(1331)=33, o bien al final, como ocurre con la función phi: phi(1768)=768.
Veamos los tres casos, en los que llamamos A al número total y B a las cifras alojadas. Su cociente A/B es el que vamos a acotar.

 (a) Al principio

Si las cifras están al  principio, A=B*10^k+C, siendo C un número de k cifras. El cociente pedido sería: A/B=10^k+C/b, luego A/B>=10^k. En el más desfavorable de los casos A sería más de diez veces mayor que B

(b) En el interior

Entonces A=D*10^m+B*10^n+C, siendo C un número de n cifras. Así quedaría
A/B=D*10^m/B+10^n+C/B>=10^n
También, en el caso más desfavorable, A/B>=10

(c) Al final

En ese caso A=C*10^h+B, con B<C*10^h, luego A/B ha de ser mayor que 2. Por ejemplo, el caso más desfavorable con tres cifras sería 1999/999=2,001001

¿Qué sacamos de todo esto? Pues que en el caso de las partes alícuotas el número ha de ser deficiente (si no es perfecto), pues su abundancia es B/A<1/2. Ahora bien, no puede ser par, porque en estos casos el mayor divisor propio M de N es N/2, con lo que tendríamos que la suma de partes alicuotas sería mayor que N/2 y por tanto la abundancia sería mayor que 1/2 en contra de lo demostrado mediante cifras:

Los elementos de la sucesión, o son perfectos o son deficientes impares.


sábado, 15 de junio de 2013

No son perfectos, pero sí sus parientes (2)

En la entrada anterior buscamos números N parecidos a los perfectos, pero con dos diferencias radicales:
  • Los divisores considerados no serán todos, sino tan sólo los de algún tipo. Ya hemos estudiado los impares.
  • No se exige que N coincida con la suma de sus divisores propios, sino con el producto de esa suma por el mayor de los divisores de ese tipo.
Como consecuencia, el mayor divisor propio de cierto tipo será inferior en todos los casos a la raíz cuadrada del número. Por tanto, de cumplirse la igualdad, los divisores serán más bien pequeños.

Se comprende que este planteamiento es una propuesta para divertirse un poco. Quien busque algo más serio se defraudará si sigue leyendo, pero si sólo desea explorar y aprender, algo tenemos que ofrecerle.

 Probamos con triangulares

Estos son los primeros números que cumplen lo exigido si nos restringimos a triangulares:

285, 5016, 24021, 142350, 145665, 154602, 204450, 318912, 474192, 843402, 1196690, 1283664, 1670250, 2739021, 3412950, 4255776, 5052135, 6054880, 6272140, 6433440, 6493728, 6650712, 6728190, 7156044, 7323030, 7797750, 9379350...

Observa estas igualdades: 285=15(15+3+1), 142350=325(325+78+15+10+6+3+1), ambas construidas con divisores triangulares y compuestas multiplicando el mayor divisor con la suma de todos.

No es rápido ningún algoritmo para conseguir esto. El que hemos visto más adecuado (salvo funciones creadas por nosotros) es el que puede basarse en  lo siguiente:

Definimos una función para n:
  • Tomamos como divisor inicial el D=1 y como suma S=0 y el salto en 1
  • Desde k=1 hasta n/2 probamos si k es divisor de n. Si lo es tomamos nota en D=k e incrementamos la suma S se convierte en S+k
  • (Núcleo) Ahora viene lo peculiar de los triangulares: el salto ha de incrementarse en una unidad y el valor de k también incrementarlo en ese salto. Así garantizamos que salte de triangular en triangular: 1+2=3; 3+3=6; 6+4=10; 10+5=15,…
  • Al final devuelve el producto de D*S, pues D se convertirá en el mayor divisor propio triangular y S en la suma de todos los divisores de ese tipo.
Puedes analizarlo en este código PARI. No es fácil seguirlo al principio.

msumprop(n)={k=1;i=1;s=0;d=1;while(k<=n\2,if(n/k==n\k,d=k;s+=d);i+=1;k+=i);s*=d;return(s)}
{for (n=2,10^7,if(n==msumprop(n),print(n)))}

Los valores de k son los triangulares que se van formando y los de i el salto que se incrementa de 1 en 1.

Ninguno de los números que hemos encontrado es triangular también.

Esta sucesión la hemos publicado en https://oeis.org/A225881

Con los cuadrados

Resultan:

20, 90, 336, 650, 5440, 7371, 13000, 14762,28730, 30240, 83810, 87296, 130682, 147420, 218400, 280370, 295240, 406875, 708122, 924482, 1397760, 1875530, 2613640, 3536000, 4881890, 4960032, 5884851, 7856640, 7893290, 8137500,…

Por ejemplo: 406875=625(625+25+1)

Es fácil ver que el mayor divisor cuadrado de N es su parte cuadrada y el paréntesis, suma de divisores cuadrados, será la parte libre de los mismos, luego todos los divisores cuadrados de N serán, en esta sucesión, divisores del mayor. Por ejemplo:

218400=400(400+100+25+16+4+1)=400*546

Aquí 400 es la parte cuadrada de 218400, 546 la parte libre de cuadrados, y todos los divisores cuadrados son divisores de 400, pero no de su suma:

En esta sucesión ningún divisor cuadrado (salvo el 1, evidentemente) es divisor de la suma de todos ellos. Sin embargo, la parte libre de cuadrados coincide con la suma de todos los divisores cuadrados.

Por simplicidad, hemos usado esta última consideración para publicar la sucesión en https://oeis.org/A225882, ya que usar que la parte libre (“core”) simplifica tanto la programación, que en PARI se reduce a esto:

for(n=2, 10^8, if(core(n)==sumdiv(n, d, d*issquare(d)), print(n)))

Cuando redactábamos esta entrada, al aparecer reiteradamente los números libres de cuadrados, lo comentamos con nuestro amigo Rafael Parra, que redactó un documento sobre ellos, que se puede descargar desde http://hojamat.es/parra/NumerosLDC.pdf. En el resto de la entrada nos referiremos a él y a otras sucesiones del mismo autor.

Subsucesión p2(p2+1)

En esta sucesión que estamos estudiando están incluidos los que tienen esta expresión p2(p2+1) si p es primo y p2+1 es libre de cuadrados (si no lo fuera, habría un divisor cuadrado k2 nuevo, ya que si k2 divide a p2+1, no divide a p2). Son estos:

20, 90, 650, 14762, 28730, 83810, 130682, 280370, 708122, 924482, 1875530, 4881890…

Esta sucesión la ha publicado Rafael Parra en https://oeis.org/A225892

Primos que producen estos términos

Hemos indicado que p ha de ser primo, pero no todos hacen que p2+1 esté libre de cuadrados. Los que lo consiguen son:

2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 47,…

También los ha publicado Rafael Parra en https://oeis.org/A225856

Es un problema muy interesante y difícil de estudiar el de qué distingue a estos primos de los que no producen un p2+1  libre de cuadrados, y que son los restantes:

7, 41, 43, 107, 157, 193, 239, 251, 257, 293, 307, 443, 457, 557, 577, 593, 607, 643, 743, 757, 829, 857, 907,… https://oeis.org/A224718

Es recomendable repasar las últimas páginas del documento de Rafael Parra citado. Ahí da pistas sobre esta cuestión. También ha construido una sucesión muy interesante sobre ellos en https://oeis.org/A225893

En estos últimos números primos, 7, 41, 43,… la expresión p2+1 posee una parte cuadrada mayor que 1, lo que produce un nuevo divisor cuadrado en la cuestión que estamos estudiando. Por ejemplo, para p=251, p2(p2+1)= 3969189002, que posee como divisor 172 = 289

Volvemos a la práctica

Para encontrar los “casi perfectos” que nos ocupan, el algoritmo es similar al de los triangulares, sustituyendo el núcleo: El valor de i lo incrementamos en 2, porque así los sumandos son impares y las sumas de ellos engendran cuadrados. Los candidatos a divisores cuadrados se formarían así:
1+3=4; 4+5=9; 9+7=16; 16+9=25,…

En PARI el código sería idéntico al de los triangulares, pero con saltos incrementados de 2 en 2

msumprop(n)={k=1;i=1;s=0;d=1;while(k<=n\2,if(n/k==n\k,d=k;s+=d);i+=2;k+=i);s*=d;return(s)}
{for (n=2,10^7,if(n==msumprop(n),print(n)))}

Ya hemos advertido que al publicar hemos optado por una variante más simple, pero conservamos este algoritmo porque puede servir para dar ideas.

Otros ejemplos

Estos ejemplos los desarrollaremos con más brevedad, por su interés menor:

Con oblongos 

Son números del tipo n(n-1), dobles de triangulares. Con ellos resultan

 4, 2604, 47320, 99756, 123804, 362520,…

Por ejemplo, los divisores oblongos de 123804 son  342, 12, 6 y 2,y se cumple lo exigido: 123804=342(342+12+6+2)=342*362

Es evidente que todos son múltiplos de 4, porque los oblongos son todos pares y por tanto su suma también, con lo que garantizamos el factor 2 al cuadrado.

Código PARI

msumprop(n)={k=2;i=1;s=0;d=1;while(k<=n\2,if(n/k==n\k,d=k;s+=d);i+=1;k*=(i+1)/(i-1));s+=d;return(s)}
{for (n=2,10^7,if(n==msumprop(n),print(n)))}

El algoritmo es idéntico a los anteriores, pero el primer divisor es D=2=2*1 que es el primer oblongo y el contador i se incrementa en 1 y, esto es lo propio de este caso, k se multiplica por (i+1)/(i-1). Con esto logramos que 2=2*1 salte a 2*3, después a 3*4, y así sucesivamente.

Con fibonacci

18, 45, 88, 840, 1258, 1530, 1632, 3355, 3630, 8188, 8277…

Como ejemplo, los divisores de 8188 que pertenecen a la sucesión de Fibonacci son 89, 2 y 1, con suma 92, y es evidente que 8188=89*92

Te puedes entretener en estudiar este algoritmo:

msumprop(n)={k=1;l=1;i=1;s=0;d=1;while(k<=n\2,if(n/k==n\k,d=k;s+=d);l=k;k+=i;i=l);s*=d;return(s)}
{for (n=2,10^7,if(n==msumprop(n),print(n)))}

Como era de esperar (sería ya mucha casualidad), ninguno de los números encontrados pertenece a la sucesión de Fibonacci.

Con libres de cuadrados

72, 2160, 4032, 9504, 22032, 39744, 71424, 120960,…

Por ejemplo, 206064= 318*(318+159+106+53+6+3+2+1)

Un código PARI que los produce es este:

rad(n)=local(p); p=factor(n); prod(i=1, #p[,1], p[i,1]);
sumfree(n)=sumdiv(n,d,d*issquarefree(d))
{for (n=2,10^7,if(n==rad(n)*sumfree(n),print(n)))}

No seguimos, que nunca deseamos cansar a nuestros lectores, que quedan invitados a buscar ejemplos similares.

viernes, 7 de junio de 2013

No son perfectos, pero sí son sus parientes (1)


Los números perfectos 6, 28, 496, 8128,.. (http://oeis.org/A000396) sabemos que se caracterizan por cumplir el ser iguales a la suma de sus divisores propios. Igualmente es muy popular el criterio de que si 2k-1 es primo (primo de Mersenne), entonces 2k-1(2k-1) es perfecto.

Estos son los números perfectos “normales”, pero ¿qué ocurriría si nos restringimos sólo a ciertos divisores propios, como los pares o los cuadrados? Y como segunda cuestión: ¿y si les ayudáramos con alguna multiplicación por otro divisor? A investigar esta posibilidad nos dedicaremos en estas entradas.

Como ocurre tantas veces, hemos buscado una cosa y recibido mucho más, porque al explicar los resultados podremos repasar cuestiones teóricas interesantes.

Estudio con divisores restringidos

Los resultados son escasos. Sólo se puede destacar el de la suma de los divisores pares, pues los números que coinciden con su suma son los dobles de los números perfectos: 12, 56, 992, 16256,…Los puedes ver en http://oeis.org/A139256 En efecto: 12=2+4+6, 56=28+14+8+4+2, 992=496+248+124+62+32+16+8+4+2,…

También, si restringimos a los divisores unitarios, nos aparecen otros tipos de perfectos, los de tipo unitario: 6, 60, 90, 87360,… (http://oeis.org/A002827) Recuerda que un divisor unitario D de N es aquel que es primo con N/D. Así, en el caso de 90 los divisores unitarios propios son  45, 18, 10, 9, 5, 2, 1, cuya suma también es 90. Se conjetura que sólo existe un número finito de ellos.

Hemos probado otras posibilidades, como divisores impares, cuadrados, triangulares,…  sin apenas resultados en los números pequeños. Las búsquedas han llegado hasta 10000 al menos. Lo que resulta es muy pobre y no merece la pena considerarlo.

Así que probaremos con una ayudita: Ayudamos con el mayor divisor propio

Vamos a intentar buscar números que coincidan con la suma de ciertos divisores propios multiplicada por el mayor divisor propio de ese mismo tipo.

Por ejemplo, con cuadrados, el 650 tiene como divisores cuadrados propios el 25 y el 1 y se cumple 650=25*(25+1)

Así el panorama se aclara totalmente. Es mucho más fácil que un número coincida con esos productos.

El proceso que vamos a seguir, por pura diversión, es el siguiente:

* Para cada número natural elegimos un tipo de divisores: pares, cuadrados, oblongos,…
* Encontramos el mayor divisor propio de ese tipo
* Lo multiplicamos por la suma de todos los divisores propios de ese tipo, incluyendo él mismo.
* Comprobamos si coincide con el número dado

Hemos usado dos funciones que no explicaremos por no cansar, pero que no son difíciles de programar: MayorDivisorTipo, SumaDivisoresTipo, ambos actuando sobre divisores propios. Nos han resultado las siguientes curiosidades:

Con divisores sin restringir

 Nada que hacer. Por algo los números perfectos son tan admirables.

Divisores pares

Sólo existe el 4=2*2. En efecto, si el mayor divisor propio par de N lo multiplicamos por 2, ya sería igual a N. Si lo multiplicáramos por toda una suma de pares, nos resultaría mayor que N salvo este caso del 4.

Divisores impares

Aquí sí existen números con ese tipo de descomposición, y dan tanto juego que nos ocuparán toda la entrada y tendremos que dejar otros casos para la siguiente.

12, 56, 672, 992, 11904, 16256,…

12=3*(1+3)
56=7*(1+7)
672=21*(21+7+3+1)
992=31*(1+31)
11904=93*(93+31+3+1)
16256=127*(127+1)

Y aparecen los primos de Mersenne

¿Te suenan de algo 3, 7, 31 y 127? Pues sí, son primos de Mersenne. Además, 21 es el producto de 3 por 7 y 93 de 3 por 31. En todas las igualdades aparece un número de Mersenne.

Podemos demostrar que si un número se descompone según esta estructura

N=2m+n+p+…(2m-1)(2n-1)(2p-1)… (1)

siendo todos los paréntesis primos de Mersenne y distintos, cumplirá lo que le hemos exigido: El número coincidirá con su mayor divisor impar propio multiplicado por la suma de todos los divisores impares propios.

La idea es muy sencilla: los únicos divisores impares de N  provendrán de los paréntesis. El mayor de ellos será  el producto (2m-1)(2n-1)(2p-1)…y sabemos que la suma de divisores de p1p2p3…si son primos distintos es (p1+1)(p2+1)(p3+1)…, luego en este caso sería 2m2n2p…=2m+n+p+…, luego al multiplicar ambos, el mayor divisor impar propio y la suma, se reconstruye N según (1), que es lo que pretendíamos.

Luego se cumple la propiedad

Lo bueno es que también es verdadera la propiedad recíproca: Si N cumple que coincide con el producto entre su mayor divisor impar propio y la suma de todos los divisores impares propios, N ha de tener la estructura propuesta en (1). En efecto, dividamos N en factores primos impares y potencias de 2 (esto siempre es posible salvo trivialidades).

Sea N=2kp1p2p3…, con p1,p2,p3…, los primos impares y su producto el mayor divisor impar propio. Si los factores son distintos se ha de cumplir (p1+1)(p2+1)(p3+1)…=2k y esto sólo es posible si esos primos son de Mersenne: (2m-1)(2n-1)(2p-1)…. Sólo queda ajustar el exponente de 2 para que resulte la fórmula (1)

Queda el caso en el que hubiera algún factor repetido al menos, por lo que agrupando dos repeticiones, se tendría que cumplir que (pr)2+pr+1=2h, que es imposible, porque el primer miembro es impar. Por tanto hemos demostrado:

La condición necesaria y suficiente para que un número N cumpla la propiedad de coincidir con el producto de su mayor divisor impar propio y la suma de todos los divisores impares propios es que tenga la estructura

N=2m+n+p+…(2m-1)(2n-1)(2p-1)… (1)

siendo los paréntesis números primos de Mersenne distintos

Pero esto tiene otra consecuencia muy simple: si construimos todos los números con un solo primo de Mersenne y después los multiplicamos entre sí, resultarán otros con la misma propiedad. En el listado de arriba tienes dos ejemplos: 12*56=672 y 12*992=11904.

Para comprenderlo basta revisar la estructura (1) que hemos demostrado es necesaria y suficiente para el cumplimiento de lo exigido, pero la podemos interpretar así:

N=(2*2m-1(2m-1))*(2*2n-1(2n-1))*(2*2p-1(2p-1))…

Es decir, es un producto de dobles de números perfectos distintos.

Esto nos da un método para ampliar la lista. Tan sólo insertamos una imagen de los resultados de la primera generación obtenidos con STCALCU (http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#calcula)



Por ejemplo, el número 1090788524032 que figura en la tabla de arriba es el producto de dos números que duplican a otro perfecto:

1090788524032=16256*67100672 =(2*8128)*(2*33550336)=2*P(4)*2*P(5)

Es el producto de los dobles del cuarto y quinto número perfecto.

Puedes comprobar que su mayor divisor impar es 1040257, la suma de sus divisores impares es 1048576 y que su producto es 1090788524032. El primer número es también la parte impar de los divisores, ya que no sólo no contiene el factor 2, sino que todos los divisores impares son también divisores suyos. Igualmente, la potencia de 2 que le acompaña sería la parte par del número. Aquí sería 1048576=220 mientras que la parte impar es el producto de los primos de Mersenne: 1040257=127*8191

También hemos comprobado la lista con PARI, mediante el código

gdivodd(n)={m=n;while(m/2==m\2,m=m/2);return(m)}
{for (n=2,2*10^8,m=gdivodd(n)*sumdiv(n, d, d*(d%2));if(m==n,print(n)))}

Hemos reproducido con él estos primeros números: 12, 56, 672, 992, 11904, 16256, 55552, 195072, 666624, 910336, 10924032, 16125952, 67100672, 193511424,…) hasta 2*10^8)

Completados con razonamiento: 805208064, 903053312, 3757637632, 10836639744, 17179738112, 45091651584, 66563866624, 206156857344, 274877382656, 798766399488, 962065334272, 1090788524032…

Comenzamos con una búsqueda un poco aleatoria y se ha desembocado en una propiedad elegante, y relacionada con conceptos tan potentes como los primos de Mersenne y los perfectos. Para ser un entretenimiento, no está mal.

Esta sucesión la hemos publicado en OEIS con el número  A225880

En la siguiente entrada veremos otros tipos.