lunes, 29 de abril de 2013

Medir el mundo con los dedos



Hace poco volví a leer el procedimiento de calcular las horas de sol que quedan antes del ocaso mirando el cielo con el brazo extendido y contando una hora por cada vez que podamos insertar cuatro dedos de nuestra mano. Quizás sea un método poco exacto y criticable, pero me animó a jugar con las medidas a través de proporciones corporales, dejando a un lado la medida de ángulos, que no se contempla en los objetivos de este blog.


Esta técnica me recordó otras parecidas, que pude consultar en el libro de Geometría Recreativa de Yakov Perelman y  las que yo mismo experimenté cuando era profesor en activo.

Mi propósito es reunir y comprobar algunas de estas técnicas añadiendo propuestas nuevas, estableciendo un orden lógico  y con el uso de hojas de cálculo. En esta entrada trataremos de medidas que se pueden efectuar con los dedos de la mano sin considerar ángulos.

Parte 1 – Medidas y proporciones

Los dedos de la mano comparados con la longitud del brazo constituyen goniómetros bastante aceptables. Por ejemplo, se ha propuesto muchas veces intentar tapar la imagen de la Luna mediante el dedo índice o el pulgar con el brazo extendido. De esa forma se demuestra que su tamaño aparente es mucho menor del que se cree. Podemos organizar en el aula prácticas similares mediante el uso de los dedos de la mano. Comenzamos con este de un  solo dedo.

Primer multiplicador corporal


Elegimos el pulgar porque se puede hacer formar un ángulo casi recto con el brazo, lo que aumenta su fiabilidad. El pulgar es un transportador de ángulos: lo usan los pintores para medir proporciones en un paisaje y con el mismo dedo trasladarlas al cuadro. Esto es lo que proponemos, usar la proporción entre dedo y brazo para comparar alturas y distancias. De esa forma, si conocemos uno de los dos datos, podemos calcular el otro. Daremos ejemplos más adelante.

Llamaremos primer multiplicador P1 al cociente entre la longitud de nuestro brazo y la del pulgar extendido en ángulo recto. En el caso del autor este cociente es de 10 con una cierta aproximación. Por tanto, la altura que tape nuestro pulgar tendrá una longitud diez veces más pequeña que la distancia que la separa de nosotros. Así, una casa de cinco pisos, que a unos 3 metros largos por piso tendrá una altura de unos 20 metros, si la tapa nuestro pulgar extendido verticalmente estará a unos 200 metros de nosotros. Esta proporción equivale a un ángulo de visión de unos 5,7º (Perelman sugiere 4º).

Además de esa proporción P1=10 podemos usar muchas más a partir de la mano y el brazo. Si proponemos estas medidas en el aula quizás bastaría con que se concreten sólo unas tres proporciones. Estas son las más destacadas (usando siempre el brazo extendido, salvo en el caso del índice que se inclina un poco):

P2 - Grueso del pulgar medido a la altura de la uña: cercano a 40, o bien  unos 2 grados.
P3 – Dedo índice a nivel de uña y ligeramente inclinado hacia adelante: unos 50, que equivalen a un grado largo.
P4 – Anchura del puño cerrado medido en los nudillos: 8 o 7º (en algunos textos usan 10º)
P5 – Distancia entre pulgar e índice ambos extendidos: 3,7 o 15º

¿Qué podríamos organizar en el aula?

Daremos algunas ideas ordenadas de cómo vemos una serie de experimentos de este tipo.

1) Toma de medidas en nuestro cuerpo

Es la fase divertida y caótica, pues se trata de que el alumnado proceda a encontrar tres proporciones entre mano y brazo en su propio cuerpo. Se puede realizar por equipos, con medidas reiteradas y cálculo de promedios, así como un pequeño comentario de qué proporción P1 a P5 (u otras) se ve más idónea.
Se puede terminar con una puesta en común en la que se explique el fundamento de la medición que se puede efectuar con esas proporciones (triángulos semejantes, teorema de Thales, razones trigonométricas si las conocen, ejemplos prácticos o históricos, etc.)

2) Calibrado

En la fase anterior, entre bromas y comentarios se han podido cometer errores. El siguiente paso podría ser el de calibrar nuestras proporciones, es decir, aprovechar medidas conocidas para ver si hemos trabajado bien. Damos algunas ideas:

2a) Una experiencia propia: El autor, en sus paseos veraniegos, suele tener a la vista la cruz del Valle de los Caídos (cosas de la vida), cuya altura es de 108 metros y puede taparla aproximadamente con el ancho de su dedo pulgar (P2). Según la página web de Cartografía de Madrid, la cruz se encuentra a 4500 de donde se ha medido, por lo que el factor multiplicador de su pulgar es de unos 42.

2b) Nos informamos de la altura de un monumento, como la torre de la iglesia de nuestro pueblo, y nos alejamos hasta que se tape con el pulgar extendido (P1), que podrán ser bastantes metros, por lo que podríamos usar una carretera que disponga de los postecillos que miden hectómetros.

2c) Colgamos una cuerda desde una ventana del centro escolar y medimos su altura. Nos separamos unos metros y contamos cuantos pulgares o índices necesitamos para llegar desde al suelo hasta la ventana (quien sabe de esto adivinará que no es un método exacto)

3) Realización de medidas

Una vez calibradas nuestras proporciones corporales nos pondremos en acción: o medimos distancias con anchuras o alturas conocidas, o bien medimos estas alejándonos lo suficiente. Es preferible que la propuesta de medida salga del alumnado, y que los profesores sólo sugieran cuando falten ideas. Ahí van algunas:

3a) En un paseo por el campo medimos con pasos la anchura de un camino. Después intentamos tapar con el ancho del pulgar esa misma anchura unos metros más adelante. La distancia a ese punto que abarca el pulgar será de unos 300 metros.

3b) Si tapamos un persona con el truco del pintor (pulgar hacia arriba P1), estaremos a unos 20 metros de ella.

3c) Vistos desde la calle, la distancia entre piso y piso en una casa es de 3 metros. Si lo tapamos con el índice (P3) estaremos a unos 150 metros, si es con la uña del pulgar (P2) a unos 100 y si es con el pulgar completo (P1), a unos 30.

3d) En una carretera recta es posible que situados en un punto kilométrico veamos el siguiente. En ese caso podemos contar los dedos índices (P3) que caben en la altura de un árbol. Por cada dedo sumaremos unos 20 metros al árbol.

3e) Situados a unos 10 km de una cordillera (lo puedes medir en una página web de mapas, o con el GPS), cada ancho de dedo índice (P3) que acumulemos hacia arriba representará 200 metros de altura. Si tú estás a un nivel de 1000 metros y necesitas tres dedos índices para tapar un pico, este tendrá unos 1600 metros de altitud. Si sabes este dato, con los dedos puedes saber a qué distancia estás, si sabes buscar bien la horizontal.

Uso de la hoja de cálculo

Nos puede servir para:

* Cotejar una misma longitud medida con procedimientos diferentes
* Hallar una longitud total mediante la suma de productos de medidas parciales obtenidas con distintos procedimientos.
* Crear una sencilla herramientas para resolver proporciones.
* Confección de informes de resultados.

Presentación

Quien siga este blog sabrá que en cada actividad que propongamos no falta nunca la expresión de resultados. Sólo se ha aprendido verdaderamente lo que somos capaces de explicar a otros. Como en otras ocasiones, proponemos la confección de documentos, presentaciones en PowerPoint, Impress o Prezi, colaboración en la web del centro y cualquier otra forma de conseguir que el alumnado le cuente a los demás lo que ha aprendido.

Proyectos

Sería muy rico que todo esto fuera parte de un proyecto global de medida en el que cada grupo aporte datos nuevos. Por ejemplo, crear un polígono de alturas de tu pueblo o barrio, es decir, crear una triangulación en la que en cada vértice se aporte la altura de un edificio notable o accidente geográfico.

También puede emprenderse un trabajo interdisciplinar. Si se dispone de algún pequeño barómetro de bolsillo, se puede emprender un cálculo de la altura relativa de las montañas que rodeen al pueblo y después usar el barómetro como altímetro, así como proponer una corrección de los barómetros según la altura y presentarlo en el Ayuntamiento. Un complemento muy rico sería el de relacionar las alturas con la fauna y flora.

Estadísticas de las alturas de los árboles más frecuentes en nuestro entorno, sean de ornato ciudadano o rurales. Si se completa con informaciones de los agricultores, se podría correlacionar la altura con la edad. Se puede aplicar, por ejemplo, a olivos, frutales y eucaliptos


miércoles, 17 de abril de 2013

Y ahora la suma de cubos de impares nos lleva a Pell

En la entrada anterior, inspirados en propuestas de Benjamin Vitale
(http://benvitalenum3ers.wordpress.com/2013/02/21/sum-of-the-cubes-of-consecutive-odd-numbers-is-a-square/) desarrollamos cálculos de sumas de cubos consecutivos que equivalían a un cuadrado perfecto.

¿Y si sólo tomáramos impares?

Comenzamos con la unidad

¿A qué equivalen las sumas del tipo 13+33+53+73+…si han de coincidir con un cuadrado?

En la entrada aludida de Benjamín Vitale se propone la fórmula S(n)= n2 (2n2 – 1). La demostración no es complicada. Nos basamos en lo demostrado para sumas de cubos consecutivos







Si ahora suprimimos las sumas de cubos pares es fácil ver que (intenta justificarlo)


Simplificando llegamos a la expresión propuesta S(n)= n2 (2n2 – 1)

Para que se cumpla lo pedido, de que la suma sea un cuadrado, el paréntesis ha de ser otro cuadrado

Esto nos lleva a plantear: 2n2-1=m2

Pero esta es la ecuación de Pell con el segundo miembro igual a -1 y D=2

X2-2Y2=-1

La primera solución se ve que es X=1 Y=1 y nos daría la solución trivial del problema 13=12

Para encontrar las demás puedes a acudir a nuestra entrada http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/02/ecuacion-de-pell.html

En ella tienes las fórmulas de recurrencia para encontrar más soluciones, pero es más cómodo acudir a nuestra herramienta http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell
A continuación te presentamos las primeras soluciones obtenidas con ella



Nos quedamos con las correspondientes a -1: 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025,… http://oeis.org/A001653 que se corresponderán con el número de sumandos de cubos de impares que nos producen un cuadrado, el cual podemos calcularlo con la fórmula presentada arriba. Por ejemplo

Para n=5, el cuadrado será 5^2*(2*5^2-1) = 25*49 = 35^2 = 1225
En efecto: 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 = 1+27+125+343+729 =   1225

En realidad esa secuencia está definida en OEIS como la de números que verifican que 2n2 – 1 es un cuadrado, pero como nosotros exigimos que lo sea n2 (2n2 – 1), es una condición equivalente. Si te apetece lee los comentarios contenidos en esa dirección, que pueden resultarte interesantes.

Aquí tienes la comprobación para 29 sumandos:



Comenzando en otro cubo

Para obtener un resultado similar, pero comenzando la suma en cualquier número impar, no necesariamente el 1, necesitaremos restar las expresiones de dos sumas completas diferentes y exigir que sean un cuadrado perfecto:

S(m)-S(n)= m^2 (2*m^2 – 1) - n^2 (2*n^2 – 1) = k^2

O bien

2*(m^4-n^4)-(m^2-n^2) =k^2

Con un algoritmo similar al empleado en casos anteriores, podemos encontrar los valores de m y n que cumplen esa igualdad:

For m=2  To 1000
For n = 1 To m - 2
c = sqr(2 * (m^ 4 - n ^ 4) - (m ^ 2 - n^ 2))
If c=Int(c) Then
Msgbox(m)
Msgbox(n+1)
End If
Next n
Next m

Hay que observar que el algoritmo devuelve n+1, porque debemos recordar que n es el valor anterior a la suma. Así hemos obtenido estos valores para el inicio y el final de las sumas de cubos de impares que produzcan un cuadrado:



La primera nos lleva a 5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3 = 90^2, es decir, desde el tercer impar hasta el octavo.

La segunda va desde el término 13º hasta el 37º:

25^3+27^3+29^3+…+73^3=1925^3

Puedes construirte un modelo para comprobar otras soluciones con hoja de cálculo. Sólo necesitas una columna con números de orden, otra con los impares, y otra con sus cubos. Después seleccionas una parte adecuada de estos (por ejemplo, desde el 46º hasta el 59º, los sumas con la función SUMA y le hallas la raíz cuadrada para ver si es entera:



Si no tienes suficiente con estas búsquedas, intenta analizar algebraicamente la condición

2(m4-n4)-(m2-n2) =k2

Ya nos contarás. Es que en este blog el Álgebra nos cansa mucho.

martes, 9 de abril de 2013

Las sumas de cubos nos llevan a los triangulares pitagóricos.


No es la primera vez que en este blog se desarrollan ideas que han nacido a partir de las entradas de otros autores que seguimos habitualmente. En este caso partiremos de una serie de igualdades publicadas por Benjamin Vitale en el mes de de febrero.

http://benvitalenum3ers.wordpress.com/2013/02/21/sum-of-the-cubes-of-consecutive-odd-numbers-is-a-square/

En esa entrada y en otras anteriores y posteriores propone igualdades de estos tipos:

333^3 + 334^3 + 335^3 + 336^3 + 337^3 + 338^3 + 339^3 = 265559616 = 16296^2
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 225 = 15^2
1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 = 1225 = 35^2

En todas ellas una suma de cubos equivale a un cuadrado. Unas comienzan en 1^3 y otras en números mayores, y una de ellas sólo se refiere a números impares. Como ya tocamos un tema parecido en nuestra entrada sobre “Cubos y gnomones” (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2009/10/cubos-y-gnomones-1.html y las tres siguientes) nos ha apetecido ampliar un poco el tema

Suma de cubos de los primeros números naturales

Es el caso más sencillo y que ya tratamos en nuestra entrada citada:

La suma de los cubos de los n primeros números naturales equivale al cuadrado del enésimo número triangular Tn 







Puedes demostrarlo por inducción. Si no sabes cómo, aquí te darán una buena idea: http://diccio-mates.blogspot.com.es/2009/09/induccion-induccion-completa.html

Luego en estas circunstancias la propiedad de que una suma de cubos coincida con un cuadrado se cumple siempre

Suma general de cubos consecutivos

Si el comienzo de la suma no es la unidad, como en el ejemplo de Ben Vitale

333^3 + 334^3 + 335^3 + 336^3 + 337^3 + 338^3 + 339^3 = 265559616 = 16296^2

la fórmula anterior tiene una fácil adaptación:






Por tanto, si la diferencia entre esos dos números triangulares es un cuadrado, habremos obtenido un criterio para buscar todos los casos posibles.

El segundo miembro de la igualdad no invita a que intentemos igualarlo a un cuadrado y desarrollarlo algebraicamente (ahí tienes un reto), por lo que intentaremos búsquedas:

Encontrar todas las sumas de cubos consecutivos cuyo resultado sea un cuadrado, equivale a confeccionar la lista de todos los pares de números triangulares que formen parte de una misma terna pitagórica.

La razón es que su diferencia de cuadrados deberá dar otro cuadrado. Por eso forman una terna pitagórica. Con la anterior fórmula podemos programar búsquedas que nos devuelvan los casos deseados. Lo haremos en primer lugar para un número fijo de sumandos y después pasaremos al caso general. Excluimos del estudio los casos que comienzan por cero, que confundirían en el número de sumandos.

Número de sumandos prefijado

Si el número de sumandos está prefijado podemos usar un código similar al siguiente (lo expresamos en el Basic de Excel, que también vale para OOBasic, y se traduce fácilmente):

K=6 número de sumandos menos una unidad. Aquí estaríamos buscando siete sumandos
For i = inicio To final Extremos de la búsqueda
a = i * (i - 1) / 2 Triangular anterior a la suma
b = (i+k) * (i+k + 1) / 2 Triangular al final de la suma
c = Sqr(b ^ 2 - a ^ 2) Tercer lado
If c = Int(c) Then msgbox(a) Si es pitagórica se muestra el comienzo de la suma
Next i

En PARI tampoco es difícil. En cada pasada se puede cambiar el valor de k, que debe coincidir con el número de sumandos menos uno, que aquí hemos fijado en 4, así como los extremos en 1 y 1000

{for(i=1,1000,k=4;a=i*(i-1)/2;b=(i+k)*(i+k+1)/2;if(issquare(b*b-a*a),print(i)))}

Con este código obtenemos los valores iniciales para las sumas de cubos consecutivos que dan como resultado un cuadrado. En el caso del ejemplo, está preparado para cinco sumandos.

Con la hoja de cálculo o con PARI se obtienen los mismos resultados propuestos por Ben Vitale. Así que no vamos a repetir información y pasaremos al caso general.

Número de sumandos libre

Deberemos sustituir la asignación de un valor a K por un bucle. Buscaremos valores N de números triangulares que hagan de hipotenusa y para cada uno de ellos, recorreremos los valores de K menores que N para que sean catetos. Nos detendremos en N-2, porque hay que recordar que el segundo triangular es el previo a la suma.

En el Basic de las hojas de cálculo el código, fácilmente trasladable a otros lenguajes, puede ser:

For i = 5 To 400 No necesitamos más ejemplos por ahora
a = i *(i+ 1)  / 2 Creamos el triangular que hará de hipotenusa
For k = 1 To i – 2 Buscamos el cateto triangular
b = k * (k + 1) / 2
c = Sqr(a ^ 2 - b ^ 2) Calculamos el otro cateto
If c = Int(c) Then Si es cuadrado perfecto, hemos encontrado una solución
Msgbox(k + 1) Número de sumandos
Msgbox(i - k )  Inicio de la suma
Msgbox(c) Base del cuadrado buscado
End If
Next k
Next i

Con un código similar, pero que crea una tabla, hemos confeccionado ésta:



Ahí aparecen los casos particulares con los que comenzamos la entrada. Por ejemplo, 23 de inicio, con 3 sumandos se ha de engendrar el cuadrado de 204.

23^3+24^3+25^3 =204^2  Compruébalo. Aquí hemos usado nuestra querida hoja de cálculo:


En la tabla se nos ofrecen casos de hasta 291 sumandos, que no comprobaremos, pero probemos con otra fila: 25, 15 y 720, es decir, 15 sumandos a partir del 25 deberán engendrar el cuadrado de 720. Aquí lo tienes:


Con esto hemos encontrado los primeros ejemplos del caso general. Podemos ordenar la tabla según el número de sumandos, o según el inicio, y así ver mejor la evolución de las soluciones.

Si prefieres probar con PARI, usa un código similar a este:

{for(i=1,10^3,for(k=1,i-2,a=i*(i+1)/2;b=k*(k+1)/2;if(issquare(a*a-b*b),write("final.txt",k+1," ",i-k))))}

Hipotenusas triangulares

Si cambiamos las salidas del código, podemos confeccionar una tabla con las ternas pitagóricas en las que una hipotenusa y un cateto son ambos triangulares:

Esta es la sucesión de hipotenusas de este tipo:

10, 45, 136, 325, 435, 595, 630, 666, 780, 1225, 2080, 2145, 3321, 5050, 5565, 5886, 6216, 7381, 7503, 9316, 10440, 11026, 11175, 12246, 13530, 14196, 14365, 14535, 15753, 16653, 18915, 19306, 24310, 25425, 32896, 33670, 39060,…

Puedes usar PARI

{for(i=1,10^3,k=1;v=1;a=i*(i+1)/2;while(k<i&&v,b=k*(k+1)/2;if(issquare(a*a-b*b),v=0;write1("final.txt",a,", "));k+=1))}

Esta sucesión la hemos publicado en http://oeis.org/A213188

De la misma forma, se pueden encontrar los catetos triangulares con hipotenusa también triangular:

6, 36, 91, 120, 210, 253, 300, 378, 528, 630, 1176, 2016, 2346, 3003, 3240, 3828, 4560, 4656, 4950, 5460, 6105, 6903, 7140, 7260, 8778, 10296, 11628, 13530, 14028, 14196, 15400, 17766, 19110, 23220, 23436, 24310, 25200, 26796, 32640, 34980, 41616…http://oeis.org/A213189

El código PARI adecuado es

{for(i=1,10^3,k=i+1;v=1;a=i*(i+1)/2;while(k<i*i&&v,b=k*(k+1)/2;if(issquare(b*b-a*a),v=0;write1("final.txt",a,", "));k+=1))}

En la siguiente entrada veremos las sumas de cubos de impares. Aquí ya no caben.

martes, 2 de abril de 2013

Función generatriz de combinaciones y variaciones



Combinaciones sin repetición
Ya vimos en la entrada de presentación de la teoría de las funciones generatrices

(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2013/03/funciones-generatrices-en-combinatoria_14.html)

esta relación


Es el clásico Binomio de Newton y nos da de forma inmediata la función generatriz (F.G.) de las combinaciones de n elementos sin repetición.

Esta forma de expresar los números combinatorios da lugar a demostraciones muy sencillas de algunas de sus propiedades. Observa esta identidad:

Si la desarrollas da lugar a la identidad de Vandermonde


Basta imaginarse cómo sería el producto de las dos potencias

De igual forma, de esta otra identidad


Nos resultaría


Basta con igualar términos con el exponente k

Así se podría demostrar otras similares.

Combinaciones con repetición 

La fórmula del binomio de Newton es válida también para exponente negativo, pero en ese caso los números combinatorios tendrían la forma



Pero la última expresión coincide con las combinaciones con repetición, luego



Sería, teniendo en cuenta los signos, la F.G. de las combinaciones con repetición.

Caso de elementos con repetición prefijada

Este es el caso con el que comenzamos a estudiar las F.G. en una entrada anterior. Si deseamos combinaciones con repetición, pero en las que algunos elementos tienen un máximo en su repetición (no se suele estudiar este caso en los niveles elementales), debemos usar otra técnica. Por ejemplo:

Disponemos de varias fichas en cada una de las cuales se ha dibujado una forma distinta. Por ejemplo esta distribución:



¿De cuántas formas distintas se puede tomar un conjunto de cinco símbolos? Al hablar de conjunto, no tendremos en cuenta el orden.

Basta usar, como ya vimos, un producto de polinomios en los que los exponentes representan las repeticiones posibles de cada símbolo:

F(x)=(1+x+x2)(1+x+x2+x3)(1+x+x2+x3+x4)

Buscamos con PARI su coeficiente de grado 5, que representa los elementos seleccionados:

print(polcoeff((x^2+x+1)*(x^3+x^2+x+1)*(x^4+x^3+x^2+x+1),5))

con un resultado de 11 posibilidades

Son estas (con la hoja Cartesius):



Podemos interpretarlas así:


Este método es general: para crear la F.G, en un caso de combinaciones con repeticiones prefijadas basta con formar polinomios de potencias para cada uno de los elementos y después multiplicarlos todos.

Funciones generatrices exponenciales


Hasta ahora hemos manejado combinaciones, no hemos tenido en cuenta el orden. Cuando éste interviene, para abordar las variaciones y permutaciones, necesitamos otro tipo de funciones generatrices, las exponenciales:

Dada una sucesión de números (en general complejos) {a0, a1, a2, a3,…an,….} llamaremos función generatriz exponencial de esa sucesión a la formada por


Es idéntica a la definición general, pero en cada término de la suma dividimos entre el factorial del exponente. La raíz de esta técnica está en el desarrollo del binomio de Newton, en el que podemos sustituir Cm,n por Vm,n/n!

De esta forma, si (1+x)m era la F.G. de las combinaciones, también será ahora la F.G exponencial de las variaciones. Esta idea no es de mucha utilidad así en general, pero nos será muy útil en lo que sigue.

Variaciones con elementos repetidos

Un caso que no se suele estudiar en las enseñanzas medias es el las variaciones en las que se permite un máximo de repeticiones para cada elemento. Por ejemplo, tomar variaciones de 4 elementos en este conjunto de elementos con repetición: AAABBCDD.

Efectuamos previamente un acercamiento sin F.G.

En la imagen hemos obtenido con Cartesius todas las posibles combinaciones, escribiendo en cada columna el número de veces que se toman A,B,C y D, contando después las distintas ordenaciones de cada una. La suma obtenida fue de 162 variaciones.



Probamos ahora con una F.G. exponencial para cada elemento, hasta 3 para A, 2 para B y D y una para C. Observa que los términos de los polinomios están divididos entre factoriales.

FG=(1+x+x^2/2+x^3/6)(1+x+x^2/2)(1+x)(1+ x+x^2/2)

Desarrollamos esta función con wMaxima


Nos resulta para el exponente 4 un coeficiente de 27/4, pero recordemos que es una F.G. exponencial, luego hay que multiplicar por 4! para encontrar el verdadero coeficiente, el número de variaciones:

27/4*4!=27*6=162, que confirma el resultado previo.

Lo que hemos aprovechado en realidad es que al escribir estos paréntesis cada elemento está representado por los órdenes que puede presentar. Si usamos este factor (1+x+x^2/2+x^3/6) lo que estamos comunicando es que x^2 presenta dos posibles órdenes (que al repetir el símbolo se han perdido) y que x^3 proviene de 6 órdenes (permutaciones con tres elementos)

Quiere decir lo anterior que las contribuciones al coeficiente final de x^4, 27/4, ya vienen descontados los órdenes que se han perdido al repetir. Al final, al multiplicar por el factorial de 4, nos quedamos con los órdenes verdaderos. Es un poco complicado de entender, pero estúdialo, que funciona.

Lo comprobamos para el variaciones de 3 elementos: el coeficiente es 26/3 y si multiplicamos por 3! nos queda 26*2=52

Lo comprobamos con Cartesius



Lo generalizamos sin demostración:

Para encontrar el número de variaciones con repetición en el que conocemos el número máximo de repeticiones de un elemento, sean por ejemplo k, aportaremos a la F.G. un factor del tipo 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xk/k! por cada elemento.

Permutaciones con repetición

La función generatriz que hemos empleado para variaciones coincide con la de permutaciones si el coeficiente que buscamos coincide con el total de las repeticiones de símbolos. En el ejemplo que estamos usando, AAABBCDD, el total de elementos es 8. Busca en el desarrollo mediante wMaxima de arriba el exponente 8 de la F.G. y verás que es 1/24. Como estamos usando funciones exponenciales, el verdadero valor será (1/24)*8! = 1680.

En este caso no es necesaria la F.G., pues ya sabemos que el número de permutaciones de AAABBCDD se calcula mediante 8!/(3!2!1!2!) =8!/24 = 1680, pero es conveniente comprobar que en este caso también funciona la técnica de las F.G.