miércoles, 27 de febrero de 2013

Carnaval de triangulares

Esta entrada se ha desbordado, como una serpentina que al arrojarla ya no puede volver a ser rollo. Comenzamos estudiando variantes de la entrada anterior

(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2013/02/de-los-triangulares-alojados-los-primos.html)

y a la multiplicidad de divisores triangulares le siguió su suma, las coincidencias en esa suma y la reconstrucción de otro triangular. Por ello, aunque sea infrecuente en un blog, comenzamos con un esquema:

* Número de divisores triangulares (http://oeis.org/A007862)


* Suma de divisores triangulares (http://oeis.org/A185027)

* Curiosidades



Número de divisores triangulares

Vimos en la entrada anterior que el número 40 posee una parte triangular igual a 10, que le permite ser representado como un prisma triangular.


Esta representación 40=4*T4 es única (en toda la entrada no consideramos el triangular 1, por lo que no volveremos a citarlo). Ningún otro número triangular menor o igual que 40 (3, 6, 10, 15, 21, 28 o  36) lo divide salvo el 10. Esto por lo que se refiere al 40, pero existen otros números que admiten varias representaciones. El 30 admite cuatro: 30=10*T2 = 5*T3 = 3*T4 = 2*T5

No es difícil contar los divisores triangulares que posee un número N (al menos, el 1). Basta cambiar el algoritmo que publicamos en la anterior entrada para que cuente en lugar de quedarse con el mayor

Public Function numdivtriang(n)
Dim p, i, t, tr

p = Int((Sqr(n * 8 + 1) - 1) / 2) ‘Calcula el máximo orden
t = 1
For i = 2 To p
tr = i * (i + 1) / 2 ‘forma todos los triangulares menores o iguales a n
If n / tr = n \ tr Then t = t+1  ‘si es divisor, incrementa el contador
Next i
numdivtriang = t ‘se queda con el mayor
End Function

Esta función cuenta el 1, por lo que para 30 dará 5 posibilidades y para 40 sólo 2. En la siguiente tabla parcial lograda con hoja de cálculo lo puedes comprobar

30    5
31    1
32    1
33    2
34    1
35    1
36    4
37    1
38    1
39    2
40    2

Este resultado lo tienes en http://oeis.org/A007862 y es interesante leer los comentarios que se incluyen.

Números con un solo divisor triangular propio mayor que 1

El caso del 40 no es único. Hay muchos números que sólo pueden representarse de una sola forma como un prisma triangular con base y altura mayores que uno (para evitar trivialidades). Son estos:

6, 9, 15, 20, 21, 27, 33, 39, 40, 50, 51, 56, 57, 69, 70, 80, 81, 87, 93, 99, 100, 111, 112, 117, 123, 129, 130, 141, 153, 159, 160, 170, 171, 177, 182, 183, 190, 196, 200, 201, 207, 213, 219, 224, 230, 237, 243…

Los hemos publicado en http://oeis.org/A203468

Prueba con cualquiera de ellos, el 182=2*7*13. Puedes usar la propiedad que vimos de que su doble ha de tener dos divisores consecutivos. 364=2*2*7*13 y su conjunto de divisores es {364, 182, 91, 52, 28, 26, 14, 13, 7, 4, 2, 1}. Los únicos divisores consecutivos son 13 y 14, que dan lugar a un único divisor triangular de 182, el 91.

Por cierto, su consecutivo 183 presenta la misma situación: su único divisor triangular es el 3. No es el único par de consecutivos contenido en la sucesión. Por ejemplo, tenemos 170 y 171.

Dentro de esta sucesión figuran números triangulares. Todos ellos presentarán tres divisores triangulares: ellos, un divisor propio y la unidad. Así, 351 tiene como únicos divisores triangulares 1, 3 y el propio 351.

Suma de divisores triangulares

Además de considerar la suma de todos los divisores de un número, puede resultar curioso sumar sólo los de un tipo. Por ejemplo, el número 720 tiene como suma de divisores 2418, pero si sólo consideramos los que son cuadrados, sumarían 210=144+36+ 16+9+4+1 y con los triangulares 236=120+45+36+15+10+6+3+1. Se pueden considerar otros tipos de divisores: los pares, los oblongos…

Un algoritmo un poco burdo, pero que funciona, es el de recorrer todos los posibles divisores y someter a cada uno a una condición antes de incorporarlo a la suma. Aquí tienes el que hemos usado para cuadrados y triangulares:

Public Function sumadiv(nume, tipo)
'tipos
'0 da todos los divisores
'1 los cuadrados
'2 los triangulares

Dim i, s

s = 0
For i = 1 To nume
If esmultiplo(nume, i) Then
If tipo = 0 Then s = s + i
If tipo = 1 And escuad(i) Then s = s + i
If tipo = 2 And estriangular(i) Then s = s + i
End If
Next i
sumadiv = s
End Function

Con un algoritmo similar hemos publicado en OEIS la función que recoge la suma de los divisores triangulares de los primeros números naturales:

1, 1, 4, 1, 1, 10, 1, 1, 4, 11, 1, 10, 1, 1, 19, 1, 1, 10, 1, 11, 25, 1, 1, 10, 1, 1, 4, 29, 1, 35, 1, 1, 4, 1, 1, 46, 1, 1, 4, 11, 1, 31, 1, 1, 64, 1, 1, 10, 1, 11, 4, 1, 1, 10, 56, 29, 4, 1, 1, 35, 1, 1, 25, 1, 1, 76…
(http://oeis.org/A185027)

Curiosidades

Esta sucesión da lugar a varias curiosidades:

La suma de triangulares puede ser triangular.

Excluimos el caso en que sea igual a 1 por trivial. Estos son los números que lo cumplen:

6, 12, 18, 24, 48, 54, 96, 102, 110, 114, 138, 162, 174, 186, 192, 204, 220, 222, 228, 246, 258, 282, 315, 318, 348, 354, 364, 366, 372, 384, 402, 414, 426, 438, 440, 444, 456, 474, 486, 492, 498, 516, 522, 534, 550…
También la acabamos de publicar (http://oeis.org/A209309)

Por ejemplo, 444 tiene como divisores triangulares 6, 3 y 1, y su suma es 10 que es triangular. Más complejo sería el caso de 1320, cuyos divisores triangulares, 120, 66, 55, 15, 10, 6, 3 y 1 suman 276, que es triangular igual a 23*24/2.

Similares a esta, pero menos exigentes, son estas condiciones:

(1) La suma de los divisores ordinarios es triangular
1, 2, 5, 8, 12, 22, 36, 45, 54, 56, 87, 95, 98, 104, 116, 152, 160, 200,… (A045746)

(2) La que es triangular es la suma de las partes alícuotas, y mayor que 1
2,4,6,14,16,18,24,25,28,33,36,51,54,66,91,112,...(no publicada)

(3) Números triangulares en los que la suma de sus divisores propios es también triangular
1, 3, 6, 28, 36, 66, 91, 231, 496, 8128, 14196, 15225, 129795, 491536,… (A083675)

 (4) Números triangulares cuya suma de divisores es también triangular
1, 36, 45, 23220, 105111, 135460, 2492028, 5286126, 6604795, 14308575, 45025305, 50516326, 54742416, 99017628, 108125865, 152486916,... (A083674)

Ahora viene la nuestra, la más exigente:

Números triangulares cuya suma de divisores triangulares es mayor que 1 y triangular

Esto es ya mucho exigir, por lo que las soluciones crecen rápidamente:

6, 4186, 32131, 52975, 78210, 111628, 237016, 247456, 584821, 750925, 1464616, 3649051, 5791906, 11297881, 16082956, 24650731, 27243271, 38618866, 46585378, 51546781, 56026405, 76923406, 89880528, 96070591…(http://oeis.org/A209310)

El estudio del código PARI de esta sucesión te enseñará técnicas útiles:

istriangular(n)=issquare(8*n+1)
{t=0; for(n=1, 10^8, if(istriangular(n), k=sumdiv(n, d, istriangular(d)*d) ; if(istriangular(k)&&k>>1, t+=1; write("b209310.txt", t, " ", n))))}

Y por último, para no cansar (si es que has llegado hasta aquí), la última curiosidad

Números en los que la suma de divisores triangulares es mayor que 1 y divisor del número

285, 1302, 1425, 1820, 2508, 3640, 3720, 4845, 4956, 5016, 5415, 7125, 7280, 9100, 9114, 9912, 11685, 12255, 12740, 14508, 15105, 16815, 17385, 18200, 19095, 19824, 20235, 20805, 22134, 22515, 23655, 23660, 24021, 24738…http://oeis.org/A209311

Aquí tienes dos ejemplos:

285.-Divisores triangulares:1, 3 y 15 y su suma, 19,  es divisor de 285

1302.- Divisores triangulares: 21 + 6 + 3 + 1 = 31 que es divisor de 1302.

Código PARI

 istriangular(n)=issquare(8*n+1)
{t=0; for(n=1, 10^7, k=sumdiv(n, d, istriangular(d)*d); if(n/k==n\k&&k>>1, t+=1; write("b209311.txt", t, " ", n)))}

Nos queda algo en el tintero, porque en esta última el cociente puede ser también triangular, pero esto queda para otro día.

miércoles, 20 de febrero de 2013

De los triangulares alojados a los primos de Sophie Germain


Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Si tomamos 40 cubos, los podemos apilar en forma de prisma con base un triángulo isósceles y rectángulo, o en términos aritméticos, un número triangular mayor que 1. Excluimos la unidad porque en ese caso se pierde la forma triangular.


Este ejemplo es válido porque 40=4*10, y 10 es el cuarto número triangular.

No todos los números enteros se pueden representar así, pues han de ser múltiplos de un número triangular y eso no siempre ocurre. Por ejemplo, el 14, ya que entre sus divisores no figuran 3, 6 ó 10, que son los triangulares menores que él (recuerda que excluimos el 1). Esto ya nos divide el conjunto  de los números naturales entre los que tienen divisores triangulares mayores que 1 y los que no.

Los segundos, que no admiten la representación propuesta, son 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 38… (http://oeis.org/A112886) y les llamaremos libres de triangulares. Verás que están los primos, algunos semiprimos, potencias de primos y otros a los que volveremos más adelante.

Parte triangular y parte libre de triángulos

Sabemos que los primeros admiten un divisor triangular pero, como pueden ser varios, nos quedaremos con el mayor: llamaremos parte triangular (PTR) de un número al mayor divisor triangular que posea. Si has leído sobre estos temas, te recordará esto a la parte cuadrada y la parte libre de un número (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre.html)

El mayor divisor triangular puede ser 1 o el mismo número, como se comprueba en la lista de todos ellos (http://oeis.org/A115017):

N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,  12,  13, 14, 15, 16,  17,  18,  19,  20, 21, 22…
PTR 1, 1, 3, 1, 1, 6, 1, 1, 3, 10,   1,   6,    1,   1,  15,   1,   1,   6,    1,  10, 21,   1…

En ella están los libres de triangulares, que son los que se corresponden con un 1, como el 4 y el 5, los triangulares, cuya PTR son ellos mismos, como 6 y 10, y el resto, en el que se tiene una parte triangular y otra libre ambas mayores que la unidad. Es el caso de 12 o 40. La parte libre de estos últimos está recogida en http://oeis.org/A121289

Una idea: dos números con la misma parte libre y partes triangulares consecutivas formarán un prisma cuadrado. Imagina el prisma de la primera imagen y su complementario.

Búsqueda de la parte triangular

Un algoritmo simple es el de ir recorriendo los números naturales k, formar con ellos los triangulares mediante k(k+1)/2 e ir verificando si el número dado N es múltiplo de alguno. El mayor de todos ellos será la PTR(N).

Previamente es bueno calcular el orden del máximo triangular que es menor o igual que N, para acortar el ciclo de búsqueda. Se deja a los lectores la demostración de que ese orden k se calcula mediante


En hoja de cálculo sería =ENTERO((RAIZ(8*N+1)-1)/2)

Por ejemplo, para N=14534, k=169 y el mayor triangular menor que N, 169*170/2 = 14365. A nosotros nos interesaría el 169, porque entre 2 y 169 estaría el orden del triangular buscado. Todo esto se puede plasmar en una función:

Public Function partetriang(n)
Dim p, i, t, tr

p = Int((Sqr(n * 8 + 1) - 1) / 2) ‘Calcula el máximo orden
t = 1
For i = 2 To p
tr = i * (i + 1) / 2 ‘forma todos los triangulares menores o iguales a n
If n / tr = n \ tr Then t = tr ‘si es divisor, toma nota
Next i
partetriang = t ‘se queda con el mayor
End Function

El algoritmo busca los triangulares entre el menor 3 y el mayor k(k+1)/2 y se va quedando con los divisores. El último encontrado será PTR(A).

Si en lugar de recoger el valor de i*(i+1)/2 hubiéramos ido recogiendo i, nos hubiera resultado el orden de PTR. Los tienes en http://oeis.org/A083312

¿Qué números dan alojamiento a un triangular?

Para que N tenga un divisor triangular mayor que 1 se ha de poder escribir de la forma N=k(k+1)*M/2 con k>1. Esto da lugar a varias interpretaciones:

(a) N tiene un divisor triangular mayor que 1, si y sólo si 2N posee dos divisores consecutivos mayores que 1.

Es condición necesaria, pues la expresión de 2N sería 2N=k(k+1)*M con k>1, con lo que k y k+1 son los divisores pedidos.

Por ejemplo, el triangular 21 divide a N=8883, con lo que el doble 17766=6*7*423 contiene a los consecutivos 6 y 7.

La condición es suficiente: Si 2N posee dos divisores consecutivos h y h+1 con h>1, estos serán primos entre sí, luego su MCM(h,h+1) será su producto h(h+1). Como 2N es múltiplo de h y h+1, lo será de su MCM, es decir de su producto. Por tanto 2N=h(h+1)P y será múltiplo del triangular h(h+1)/2, ya que uno de los dos h o h+1 es par.

Los números 2N de este tipo los tienes en http://oeis.org/A132895. Son el doble de un número libre de triángulos.

Sería interesante que pensaras en un algoritmo que descubriera esos números.

(c) Los semiprimos N=p*q son números libres de triángulos salvo que uno de sus factores  sea 3, o bien q=2p±1 

En efecto, si N=p*q con p y q primos, 2N=2pq ha de contener dos divisores consecutivos. Si p o q fueran iguales a 3, ya se cumpliría, porque 2N=2*3*k, pero entonces N sería múltiplo de 3.

Si ni p ni q son iguales a 3, lo serán a 2 o a un primo mayor que 3. Si por ejemplo p=2 entonces 2N=2*2*q y q se ve obligado a ser 3, con lo que pasamos al primer caso. Seria múltiplo de 3.

Así que sólo nos queda que N=p*q con p y q primos mayores que 3  y no son números consecutivos (porque son impares). En ese caso es claro que 2N=2pq no podría tener divisores consecutivos salvo que q=2p+1 o bien q=2p-1 (o simétricamente, p=2q+1 o 2q-1). En el primer caso p sería un primo de Sophie Germain.

Recuerda que los primos de Sophie Germain son aquellos en los que 2*p+1 también es primo: 2, 3, 5, 11,…

(d) Los números primarios (potencias de primos) están libres de triángulos salvo el caso N=3k

Esta es trivial: Si N=pk con k>1, entonces 2N=2pppp…sólo contendría divisores consecutivos en el caso 2N=2*3*3*3...

¿Se te ocurren más propiedades? A nosotros por ahora no.

miércoles, 13 de febrero de 2013

Convertir esquemas de cálculo en tablas


Desde este blog y nuestra página hojamat.es hemos promovido siempre el uso de esquemas de cálculo y apuntes interactivos (http://hojamat.es/contenidos/apuntes.htm)


La limitación que presentan es que al provenir de cálculos de cierta complejidad es difícil recogerlos en forma de función o tabla. En esta entrada presentaremos una herramienta sencilla para recoger resultados de esquemas en forma de tabla.

La herramienta

Al principio intentamos recogerlos como funciones, pero ni Excel ni OpenOffice ni LibreOffice lo permiten. Hay algo en la programación de funciones que hace que si se altera el valor de una celda cualquiera dentro del proceso de cálculo de la función, esta no recoja el valor que ha de devolver. Continuamente da mensajes de error.

Lo que sí podemos es construir una tabla que altere los parámetros del esquema y recoja el valor final del cálculo. Como estamos abusando de generalidades, lo explicaremos mejor con un ejemplo.
Partiremos del cálculo del fósil de un número (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2008/10/dndole-vueltas-2.html)

Este valor se halla multiplicando las cifras de un número, volviendo a realizar esta operación en el resultado y en los siguientes hasta llegar a un número de una cifra al que llamamos fósil.

Por ejemplo, partimos de 876, multiplicamos 8*7*6=336. Volvemos a multiplicar y reiteramos. 3*3*6=54, 5*4=20, 2*0=0, luego el fósil de 876 es 0.

Este cálculo lo podemos tener implementado en una hoja mediante un esquema (en este momento no nos va a interesar qué fórmulas se han usado)



















Lo que deseamos es poder extraer de este esquema una tabla de valores y un gráfico si vamos cambiando el 876 por ejemplo en el intervalo 860…880. Esta tarea la realiza la hoja de cálculo esquefun, que está alojada en http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#esquefun


Tabla simple

Si la abres verás que la primera hoja estará en blanco o contendrá un esquema de cálculo cualquiera. En el segundo caso puedes borrarlo todo y construir tu propio proceso. No sobrepases el tamaño de una pantalla o algo más (unas treinta filas por treinta columnas).

En la segunda hoja se te ofrece la posibilidad de construir la tabla


¿Cómo se consigue esto? Lo explicaremos paso a paso para una tabla simple X,FX:

(1) En la primera hoja, en la celda que está a la izquierda del valor de la variable independiente escribes una X. Debes procurar tener esa celda siempre libre. También es conveniente que uses las primeras filas y columnas.

 (2) También a la izquierda del resultado que te interese como valor de la función (en nuestro caso el fósil) escribes una F.


Si tu resultado no está en ellas siempre puedes copiarlas dinámicamente. Por ejemplo, si tienes el resultado en la celda AH44, basta que en una celda más arriba y a la izquierda escribas la fórmula =AH44 y así todos los resultados se copiarán a esa celda.

Con eso ya has terminado la preparación de la hoja 1: Escribir “X” a la izquierda de la variable independiente y una “F” al lado de la variable dependiente.

(3) En la segunda hoja define el mínimo, máximo y salto de la tabla que deseas para concretar los valores de X en la misma (puedes hacerlo de forma manual, pero sería cosa tuya borrar en la columna de la X todos los datos sobrantes)

(4) Pulsa el botón FX y obtendrás tabla y gráfico de los resultados. En el volcado de pantalla de más arriba puedes observar que la tabla va de 860 a 880 y que el comportamiento del fósil es totalmente irregular.

Ya está. No hay que trabajar más. Después tabla y gráfico los puedes exportar a cualquier otro documento.

Tabla simple con dos funciones

Lo explicamos también con un ejemplo:

Deseamos hacer entender a nuestro alumnado que la raíz de una suma no da el mismo resultado que la suma de raíces. Para ello hemos pensado en usar


Preparamos un esquema de cálculo en el que se manifiesten las diferencias. Podía ser este:


Si ahora deseamos ver en un gráfico cómo evolucionan las diferencias necesitaremos definir dos funciones. Así que rotulamos con X el número, con F el primer cálculo y con G el segundo (estos nombres son obligatorios)


A partir de este esquema ya rotulado podemos crear tabla y gráfico

Hemos construido una tabla del 10 al 2000 con saltos de 10, con la ¿sorpresa? de que las diferencias tienden a estabilizarse a valores cercanos al 2


En la imagen aparece una tercera columna de diferencias que se han creado manualmente. El objetivo de construir la tabla a partir del esquema se ha conseguido.

En cursos algo más avanzados puedes intentar demostrar que efectivamente el límite de la diferencia entre ambos resultados es 2.

Tabla doble

Sería también útil estudiar una función que dependiera de dos variables. Para eso dispones de la tercera hoja de esta herramienta. No se ha incluido el gráfico para no tener que insertar otra cuarta hoja, pero nuestros lectores sabrán cómo construirlo.

En este caso deberemos rotular con X e Y las dos variable independientes y con F la función. Lo explicaremos con un ejemplo que no tiene más interés que la mera curiosidad:

Sabemos que los pasos necesarios en el algoritmo de Euclides para obtener el MCD de dos números varía mucho según los datos usados. Intentemos formar una tabla de doble entrada con ellos.
Imagina que hemos trasladado a la primera hoja el algoritmo de nuestra herramienta Euclides (http://hojamat.es/sindecimales/congruencias/herramientas/herrcong.htm):



Debemos ahora, después de comprobar que funciona bien, borrar  los rótulos “Primer número” y “Segundo número” y sustituirlos por X e Y respectivamente. Abajo también sustituiremos “Número de cocientes” por F, para recoger su valor como una función. En este ejemplo tenemos un problema, y es que esas celdas están combinadas. Debes primero anular la combinación y después escribir X,Y,F de forma contigua a su valor.

Pasamos a la tercera hoja y definimos intervalos y saltos para X e Y, por ejemplo, de 20 a 30 con saltos de 1 (el carácter optativo se incluye porque se puede efectuar un relleno manual, aunque no es muy aconsejable).



Pulsamos el botón Fxy y se formará la tabla de doble entrada:



Llama la atención que no es simétrica para intercambios entre X e Y, pero es que si el primer número es menor que el segundo nos cuesta un paso más en el algoritmo.

Con los procedimientos habituales podemos traducirla a un gráfico 3D:



Estas son las tres modalidades de creación de tablas que hemos incluido en esquefun. Con ellas basta para encontrar usos en la enseñanza y como herramienta de búsqueda. Que os sea útil.



lunes, 4 de febrero de 2013

La hoja de cálculo gana cifras



Calculadora STCALCU

Las estadísticas contenidas en la entrada anterior no hubieran sido posibles usando una hoja de cálculo normal. Ya es sabido que en ella cuando las cifras significativas de un número llegan a unas 15, se tratan automáticamente en coma flotante y notación científica. La única forma de mantener la expresión con todas las cifras es aumentando las prestaciones mediante un complemento o, como presentaremos aquí, mediante una colección de nuevas funciones.

Como mero divertimento emprendimos hace tiempo la tarea de dotar a las hojas de cálculo de la posibilidad de manejar números enteros con todas sus cifras, sin las limitaciones a las que nos hemos referido. Después de intentarlo con registros múltiples desembocamos en la decisión de usar variables de texto (string), como hemos visto en un trabajo similar al nuestro. Del hecho de manejar strings viene el prefijo ST que incorpora tanto la calculadora (STCALCU) como las funciones: stsuma, stresta,…La llamamos calculadora, aunque en realidad es una colección de funciones, pero para quien no se anime a manejarlas hemos incluido un esquema de cálculo con botones en la última hoja.

Representar un número mediante un string tiene una limitación, y es que las hojas de cálculo manejan en general cadenas de 255 caracteres. En la herramienta que presentamos se ha puesto un tope de 250, útil para la mayoría de los trabajos con números enteros.

Operaciones como funciones

Lo que presentamos ahora ha tenido un desarrollo totalmente personal (y por tanto sin la garantía de un producto profesional) y realiza los cálculos en forma de funciones. Así se pueden crear tablas o enlazar unos cálculos con otros con toda libertad. También así se podrán mezclar, con cuidado, nuestras funciones con las propias de Excel, OpenOffice o LibreOffice.

Con la implementación de las operaciones como funciones se consiguen varias ventajas:


  • Puedes escribir la función en cualquier celda, con lo que es fácil construir tablas y esquemas de cálculo.
  • Son independientes del resto de funciones de las hojas y se pueden mezclar con ellas (con cuidado)
  • No hay que preocuparse en exceso por la sintaxis de las expresiones algebraicas, que aquí se reducen a la aplicación reiterada de funciones. Así, A*B+C*D se escribiría como Stsuma(stmulti(A;B),stmulti(C;D)). Parece más complejo, pero todo es cuestión de costumbre.

La hoja que contiene la calculadora la tienes alojada en

http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#stcalcu

En STCALCU dispones de las funciones más usuales. Si sabes programar podrás enriquecerlas con otras nuevas. Son estas:

Operaciones básicas

Son las clásicas (la raíz cuadrada resultaba costosa y poco útil), más el residuo

Operación Formato

SUMA =stsuma(A;B)
RESTA =sresta(A;B) 
PRODUCTO =stmulti(A;B)
COCIENTE =stdivi(A;B)
POTENCIA =stpotencia(A;B)
RESTO =stresto(A;B)

Damos algunos ejemplos por si deseas reproducir alguno:

=stsuma(771662374885756;12636645869121) = 784299020754877
=stmulti(777654556988;299818) = 233154833967028184
=stpotencia(7;51) = 12589255298531885026341962383987545444758743
=stresto("27677841276031200";301)= 163

A y B son, en general, referencias a celdas, pero como ves en los anteriores ejemplos, se pueden usar números enteros directamente.

Hay que tener en cuenta estas consideraciones:

(a) Las funciones actúan sobre datos de tipo texto, pero frecuentemente la hoja los interpreta bien aunque no se escriban comillas. Observa el ejemplo anterior del resto, en el que sin comillas nos hubiera dado error. Para evitar esto es preferible usar las funciones sobre celdas, como en =stpotencia(Z12;W12), procurando que tengan formato de texto, también para ver mejor los datos, que, de otra forma aparecerían en formato de coma flotante.

(b) Las operaciones se pueden combinar como si fueran funciones.  Esta fórmula te daría el séptimo número de Fermat

=stsuma(stpotencia(2;stpotencia(2;7));1) = 340282366920938463463374607431768211457

(c) Sobre ellas puedes definir otras funciones. Por ejemplo, el STCUBO

Public function stcubo$(x$)
Stcubo$=stpotencia(x$,”3”)
End function

Observa que prudentemente definimos todo como string

Otras funciones

Están orientadas a la divisibilidad, por lo que pueden ralentizarse en exceso si hay que factorizar

Función Formato

FACTORIZAR =stfactores(A)
ES MÚLTIPLO        =stmultiplo(A;B)
ES PRIMO        =stprimo(A)

STFACTORES

Te devuelve el conjunto de factores primos de un número con el formato usual de [primo1,exponente1] [primo2,exponente2] [primo3,exponente3]…

Ya se ha advertido que puede resultar muy lenta. Si tu paciencia se agota, pulsa ESC en Excel o CTRL+Mayúscula+Q en las otras.

Ejemplo:

stfactores(277311825)= [3,2],[5,2],[7,2],[25153,1]

Es decir, que 277311825=3^2*5^2*7^2*25153

STMULTIPLO

Devuelve VERDADERO si un número es múltiplo de otro

Ejemplo

Stmultiplo(36672753876570989401657263524087877113152819293759126100418746384384; 182273662712) = VERDADERO

STPRIMO

Devuelve VERDADERO si su argumento es primo. También puede resultar lenta.

Ejemplo

stprimo(7726631) = FALSO porque 7726631 = [11,1],[239,1],[2939,1]

Calculadora

Para quienes no se sientan muy a gusto manejando funciones se ha implementado en la tercera hoja de Stcalcu una calculadora simple en la que realizar los cálculos. Consultando el código de los botones implementados se pueden insertar otros nuevos. No es difícil.



Se ha habilitado una línea para el resto de la división, que aquí siempre es euclídea.

En la parte inferior figuran los botones de divisibilidad y aún más abajo unas memorias para almacenar datos intermedios. Todo el esquema es fácilmente revisable.

Con estas funciones y las estructuras del Basic de las hojas de cálculo puedes enriquecer el  catálogo. Debes tener cuidado en declarar como string las variables que uses. Suerte.

Y de nuevo la advertencia: estás ante un trabajo no profesional. Si luego falla algo, ten paciencia.