miércoles, 30 de octubre de 2013

Piezas para cuadrados


En la entrada anterior formamos curiosos números triangulares concatenando un número con otros relacionados con él, como n//n, n+1//n, 2n//n y otros. Vamos hoy a intentarlo con cuadrados. Este tema está más estudiado, y ya hay más casos publicados en OEIS. Los recorremos:

n//n

Es difícil que un número concatenado consigo mismo produzca un cuadrado. Los pocos casos que aparecen ya están publicados:

1322314049613223140496, 2066115702520661157025, 2975206611629752066116, 4049586776940495867769, 5289256198452892561984,… http://oeis.org/A092118

La razón de que se descubran tan pocos es la siguiente: el número concatenado n//n es en realidad n*(10^c+1), siendo c el número de cifras de n, por lo que n<10^c. Por ejemplo, 7878=78*(10^2+1)=78*101. Si deseamos que n//n sea un cuadrado, 10^c+1 ha de contener algún cuadrado como factor, porque si es libre de cuadrados, es imposible que n aporte los factores que quedan para completar un cuadrado, puesto que es menor que 10^c.

Habrá que buscar números del tipo 10^k+1 que no sean libres de cuadrados.

Si factorizamos, por ejemplo, desde 11 hasta 10^50+1, descubrimos que sólo en cuatro casos  contiene un cuadrado (copiamos la tabla parcialmente)

100000000001=11^2*23*4093*8779
1000000000000000000001=7^2*11*13*127*2689*459691*909091
1000000000000000000000000000000001=7*11^2*13*23*4093*8779*599144041* 183411838171
1000000000000000000000000000000000000001=7*11*13^2*157*859*6397*216451*1058313049* 388847808493.

Para completar un cuadrado como el que se pide, n deberá contener los factores primos que no figuran al cuadrado (la parte libre) y además, si acaso, otros factores adicionales elevados al cuadrado. Ya vimos en su día que si multiplicamos N por la parte libre de N conseguiremos el mínimo múltiplo cuadrado de N

(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/12/emparedado-de-cuadrados-2.html).

Cumplido esto, deberá tener el número de cifras adecuado. Por ejemplo, en el primer caso
N=23*4093*8779*k^2 y si queremos que tenga 11 cifras, el valor mínimo de k es 4, con lo que nos da la primera solución: n=23*4093*8779*16=13223140496, que engendra el cuadrado

1322314049613223140496, primer término de http://oeis.org/A092118

Si tomamos k=5 obtenemos el segundo término: n=20661157025, que engendra el segundo cuadrado 2066115702520661157025

Para k=6 se engendra el tercer cuadrado: 2975206611629752066116 y para k=7, 8 o 9 se engendran los términos cuarto a sexto. A partir de este valor se sobrepasan las cifras.

Así que el caso 100000000001 engendra seis términos.

Pasamos al siguiente:

1000000000000000000001=7^2*11*13*127*2689*459691*909091

El valor adecuado de n será del tipo n=11*13*127*2689*459691*909091*k^2

Para k=1 y k=2 no se llega al número de cifras mínimo. Para k=3 nos resulta el séptimo término: 183673469387755102041183673469387755102041. No están publicados más términos. Para k=4, 5 y 6 nos resultan términos inéditos:

326530612244897959184326530612244897959184
510204081632653061225510204081632653061225
734693877551020408164734693877551020408164

No deseamos marear a nuestros lectores, por lo que no abordamos los siguientes casos. Sólo dejamos una muestra:

132231404958677685950413223140496132231404958677685950413223140496

2n//n

Se puede seguir el mismo razonamiento y descomponer en factores los números del tipo 2*10^c+1 que contienen cuadrados

20000000000000000001=3*7^2*83*1663*985694468327
2000000000000000000000000000000001=3*43^2*245169227*1470638299531951365929

Con el primero

32653061224489795921632653061224489796
73469387755102040823673469387755102041
130612244897959183686530612244897959184

Con el segundo

216333153055705786911844240129800108166576527852893455922120064900
261763115197404002163331530557058130881557598702001081665765278529
311519740400216333153055705786912155759870200108166576527852893456
365603028664142779881016765819362182801514332071389940508382909681
424012979989183342347214710654408212006489994591671173607355327204
486749594375338020551649540292050243374797187669010275824770146025
553812871822606814494321254732288276906435911303407247160627366144
625202812330989724175229853975122312601406165494862087614926987561
700919415900486749594375338020552350459707950243374797187669010276
780962682531097890751757706868578390481341265548945375878853434289
865332612222823147647376960519200432666306111411573823688480259600

Los primeros están publicados en http://oeis.org/A115529

n//2n

No explicamos ya el procedimiento. Los candidatos son:

12=2^2*3
100000000000000000000002=2*3*7^2*19961*17040030781111603
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000002=2*3*89^2* 353891*184629530872289*3220312754723112768886882952137673

Con el primero obtenemos el 36=6^2

Con el segundo:

816326530612244897959216326530612244897959184
1836734693877551020408236734693877551020408164
3265306122448979591836865306122448979591836736

Y con el tercero, verdaderos gigantes:

5049867440979674283550056811008711021335689938139123848001009973488195934856710011362201742204267137987627824769600

Publicados en http://oeis.org/A115527

Concatenación con diferencias constantes

Casi todos los casos están estudiados. Aquí ya no disponemos del análisis de los factores de 2*10^c+1 o similares. Sólo podemos acudir a la búsqueda, porque al añadir un sumando al número todo el planteamiento anterior falla.

n//n+1

Los primeros ejemplos los buscaremos con hoja de cálculo (no mostraremos el código) y con PARI.



Hemos añadido la raíz cuadrada de la concatenación. Esta sucesión está publicada en
 http://oeis.org/A030465  y llama a los primeros números de Sastry.

El código PARI adecuado es

concatint(a,b)=eval(concat(Str(a),Str(b)))
{for(n=1,10^7,a=concatint(n,n+1);if(issquare(a),print(a)))}

 N+1//n

Los primeros ejemplos son



También publicado en  http://oeis.org/A054214

Adapta tú el código PARI para encontrar más.

n//n+2

El número par 7874 es el más pequeño que cumple que concatenado con el siguiente par 7876 produce un cuadrado: 78747876=8874^2. Este caso ya está publicado en http://oeis.org/A115426.

n+2//n

Es el problema simétrico del anterior y también está estudiado en http://oeis.org/A115431
Aquí paramos, porque otras concatenaciones resultan menos atractivas. No obstante, con lo que ya has leído puedes emprender búsquedas por tu cuenta.



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