sábado, 15 de junio de 2013

No son perfectos, pero sí sus parientes (2)

En la entrada anterior buscamos números N parecidos a los perfectos, pero con dos diferencias radicales:
  • Los divisores considerados no serán todos, sino tan sólo los de algún tipo. Ya hemos estudiado los impares.
  • No se exige que N coincida con la suma de sus divisores propios, sino con el producto de esa suma por el mayor de los divisores de ese tipo.
Como consecuencia, el mayor divisor propio de cierto tipo será inferior en todos los casos a la raíz cuadrada del número. Por tanto, de cumplirse la igualdad, los divisores serán más bien pequeños.

Se comprende que este planteamiento es una propuesta para divertirse un poco. Quien busque algo más serio se defraudará si sigue leyendo, pero si sólo desea explorar y aprender, algo tenemos que ofrecerle.

 Probamos con triangulares

Estos son los primeros números que cumplen lo exigido si nos restringimos a triangulares:

285, 5016, 24021, 142350, 145665, 154602, 204450, 318912, 474192, 843402, 1196690, 1283664, 1670250, 2739021, 3412950, 4255776, 5052135, 6054880, 6272140, 6433440, 6493728, 6650712, 6728190, 7156044, 7323030, 7797750, 9379350...

Observa estas igualdades: 285=15(15+3+1), 142350=325(325+78+15+10+6+3+1), ambas construidas con divisores triangulares y compuestas multiplicando el mayor divisor con la suma de todos.

No es rápido ningún algoritmo para conseguir esto. El que hemos visto más adecuado (salvo funciones creadas por nosotros) es el que puede basarse en  lo siguiente:

Definimos una función para n:
  • Tomamos como divisor inicial el D=1 y como suma S=0 y el salto en 1
  • Desde k=1 hasta n/2 probamos si k es divisor de n. Si lo es tomamos nota en D=k e incrementamos la suma S se convierte en S+k
  • (Núcleo) Ahora viene lo peculiar de los triangulares: el salto ha de incrementarse en una unidad y el valor de k también incrementarlo en ese salto. Así garantizamos que salte de triangular en triangular: 1+2=3; 3+3=6; 6+4=10; 10+5=15,…
  • Al final devuelve el producto de D*S, pues D se convertirá en el mayor divisor propio triangular y S en la suma de todos los divisores de ese tipo.
Puedes analizarlo en este código PARI. No es fácil seguirlo al principio.

msumprop(n)={k=1;i=1;s=0;d=1;while(k<=n\2,if(n/k==n\k,d=k;s+=d);i+=1;k+=i);s*=d;return(s)}
{for (n=2,10^7,if(n==msumprop(n),print(n)))}

Los valores de k son los triangulares que se van formando y los de i el salto que se incrementa de 1 en 1.

Ninguno de los números que hemos encontrado es triangular también.

Esta sucesión la hemos publicado en https://oeis.org/A225881

Con los cuadrados

Resultan:

20, 90, 336, 650, 5440, 7371, 13000, 14762,28730, 30240, 83810, 87296, 130682, 147420, 218400, 280370, 295240, 406875, 708122, 924482, 1397760, 1875530, 2613640, 3536000, 4881890, 4960032, 5884851, 7856640, 7893290, 8137500,…

Por ejemplo: 406875=625(625+25+1)

Es fácil ver que el mayor divisor cuadrado de N es su parte cuadrada y el paréntesis, suma de divisores cuadrados, será la parte libre de los mismos, luego todos los divisores cuadrados de N serán, en esta sucesión, divisores del mayor. Por ejemplo:

218400=400(400+100+25+16+4+1)=400*546

Aquí 400 es la parte cuadrada de 218400, 546 la parte libre de cuadrados, y todos los divisores cuadrados son divisores de 400, pero no de su suma:

En esta sucesión ningún divisor cuadrado (salvo el 1, evidentemente) es divisor de la suma de todos ellos. Sin embargo, la parte libre de cuadrados coincide con la suma de todos los divisores cuadrados.

Por simplicidad, hemos usado esta última consideración para publicar la sucesión en https://oeis.org/A225882, ya que usar que la parte libre (“core”) simplifica tanto la programación, que en PARI se reduce a esto:

for(n=2, 10^8, if(core(n)==sumdiv(n, d, d*issquare(d)), print(n)))

Cuando redactábamos esta entrada, al aparecer reiteradamente los números libres de cuadrados, lo comentamos con nuestro amigo Rafael Parra, que redactó un documento sobre ellos, que se puede descargar desde http://hojamat.es/parra/NumerosLDC.pdf. En el resto de la entrada nos referiremos a él y a otras sucesiones del mismo autor.

Subsucesión p2(p2+1)

En esta sucesión que estamos estudiando están incluidos los que tienen esta expresión p2(p2+1) si p es primo y p2+1 es libre de cuadrados (si no lo fuera, habría un divisor cuadrado k2 nuevo, ya que si k2 divide a p2+1, no divide a p2). Son estos:

20, 90, 650, 14762, 28730, 83810, 130682, 280370, 708122, 924482, 1875530, 4881890…

Esta sucesión la ha publicado Rafael Parra en https://oeis.org/A225892

Primos que producen estos términos

Hemos indicado que p ha de ser primo, pero no todos hacen que p2+1 esté libre de cuadrados. Los que lo consiguen son:

2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 47,…

También los ha publicado Rafael Parra en https://oeis.org/A225856

Es un problema muy interesante y difícil de estudiar el de qué distingue a estos primos de los que no producen un p2+1  libre de cuadrados, y que son los restantes:

7, 41, 43, 107, 157, 193, 239, 251, 257, 293, 307, 443, 457, 557, 577, 593, 607, 643, 743, 757, 829, 857, 907,… https://oeis.org/A224718

Es recomendable repasar las últimas páginas del documento de Rafael Parra citado. Ahí da pistas sobre esta cuestión. También ha construido una sucesión muy interesante sobre ellos en https://oeis.org/A225893

En estos últimos números primos, 7, 41, 43,… la expresión p2+1 posee una parte cuadrada mayor que 1, lo que produce un nuevo divisor cuadrado en la cuestión que estamos estudiando. Por ejemplo, para p=251, p2(p2+1)= 3969189002, que posee como divisor 172 = 289

Volvemos a la práctica

Para encontrar los “casi perfectos” que nos ocupan, el algoritmo es similar al de los triangulares, sustituyendo el núcleo: El valor de i lo incrementamos en 2, porque así los sumandos son impares y las sumas de ellos engendran cuadrados. Los candidatos a divisores cuadrados se formarían así:
1+3=4; 4+5=9; 9+7=16; 16+9=25,…

En PARI el código sería idéntico al de los triangulares, pero con saltos incrementados de 2 en 2

msumprop(n)={k=1;i=1;s=0;d=1;while(k<=n\2,if(n/k==n\k,d=k;s+=d);i+=2;k+=i);s*=d;return(s)}
{for (n=2,10^7,if(n==msumprop(n),print(n)))}

Ya hemos advertido que al publicar hemos optado por una variante más simple, pero conservamos este algoritmo porque puede servir para dar ideas.

Otros ejemplos

Estos ejemplos los desarrollaremos con más brevedad, por su interés menor:

Con oblongos 

Son números del tipo n(n-1), dobles de triangulares. Con ellos resultan

 4, 2604, 47320, 99756, 123804, 362520,…

Por ejemplo, los divisores oblongos de 123804 son  342, 12, 6 y 2,y se cumple lo exigido: 123804=342(342+12+6+2)=342*362

Es evidente que todos son múltiplos de 4, porque los oblongos son todos pares y por tanto su suma también, con lo que garantizamos el factor 2 al cuadrado.

Código PARI

msumprop(n)={k=2;i=1;s=0;d=1;while(k<=n\2,if(n/k==n\k,d=k;s+=d);i+=1;k*=(i+1)/(i-1));s+=d;return(s)}
{for (n=2,10^7,if(n==msumprop(n),print(n)))}

El algoritmo es idéntico a los anteriores, pero el primer divisor es D=2=2*1 que es el primer oblongo y el contador i se incrementa en 1 y, esto es lo propio de este caso, k se multiplica por (i+1)/(i-1). Con esto logramos que 2=2*1 salte a 2*3, después a 3*4, y así sucesivamente.

Con fibonacci

18, 45, 88, 840, 1258, 1530, 1632, 3355, 3630, 8188, 8277…

Como ejemplo, los divisores de 8188 que pertenecen a la sucesión de Fibonacci son 89, 2 y 1, con suma 92, y es evidente que 8188=89*92

Te puedes entretener en estudiar este algoritmo:

msumprop(n)={k=1;l=1;i=1;s=0;d=1;while(k<=n\2,if(n/k==n\k,d=k;s+=d);l=k;k+=i;i=l);s*=d;return(s)}
{for (n=2,10^7,if(n==msumprop(n),print(n)))}

Como era de esperar (sería ya mucha casualidad), ninguno de los números encontrados pertenece a la sucesión de Fibonacci.

Con libres de cuadrados

72, 2160, 4032, 9504, 22032, 39744, 71424, 120960,…

Por ejemplo, 206064= 318*(318+159+106+53+6+3+2+1)

Un código PARI que los produce es este:

rad(n)=local(p); p=factor(n); prod(i=1, #p[,1], p[i,1]);
sumfree(n)=sumdiv(n,d,d*issquarefree(d))
{for (n=2,10^7,if(n==rad(n)*sumfree(n),print(n)))}

No seguimos, que nunca deseamos cansar a nuestros lectores, que quedan invitados a buscar ejemplos similares.

2 comentarios:

Rafael Parra Machio dijo...

Me congratula ver que el proyecto en el que te embarcaste hace muchos meses, va tomando forma. Y te puedo asegurar que es una "joya" para los estudiosos de la teoría de números. Gracias por haberme hecho partícipe en el. Un fuerte abrazo y sigue buscando propiedades de los números, hay infinitas que nos están esperando.

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias a ti, por haberme aportado tu estudio sobre los números libres de cuadrados y esas sucesiones que he podido compartir. La verdad es que a veces me cuesta mantener el blog, pero cuando tenga dificultades espaciaré algo las publicaciones.