viernes, 7 de junio de 2013

No son perfectos, pero sí son sus parientes (1)


Los números perfectos 6, 28, 496, 8128,.. (http://oeis.org/A000396) sabemos que se caracterizan por cumplir el ser iguales a la suma de sus divisores propios. Igualmente es muy popular el criterio de que si 2k-1 es primo (primo de Mersenne), entonces 2k-1(2k-1) es perfecto.

Estos son los números perfectos “normales”, pero ¿qué ocurriría si nos restringimos sólo a ciertos divisores propios, como los pares o los cuadrados? Y como segunda cuestión: ¿y si les ayudáramos con alguna multiplicación por otro divisor? A investigar esta posibilidad nos dedicaremos en estas entradas.

Como ocurre tantas veces, hemos buscado una cosa y recibido mucho más, porque al explicar los resultados podremos repasar cuestiones teóricas interesantes.

Estudio con divisores restringidos

Los resultados son escasos. Sólo se puede destacar el de la suma de los divisores pares, pues los números que coinciden con su suma son los dobles de los números perfectos: 12, 56, 992, 16256,…Los puedes ver en http://oeis.org/A139256 En efecto: 12=2+4+6, 56=28+14+8+4+2, 992=496+248+124+62+32+16+8+4+2,…

También, si restringimos a los divisores unitarios, nos aparecen otros tipos de perfectos, los de tipo unitario: 6, 60, 90, 87360,… (http://oeis.org/A002827) Recuerda que un divisor unitario D de N es aquel que es primo con N/D. Así, en el caso de 90 los divisores unitarios propios son  45, 18, 10, 9, 5, 2, 1, cuya suma también es 90. Se conjetura que sólo existe un número finito de ellos.

Hemos probado otras posibilidades, como divisores impares, cuadrados, triangulares,…  sin apenas resultados en los números pequeños. Las búsquedas han llegado hasta 10000 al menos. Lo que resulta es muy pobre y no merece la pena considerarlo.

Así que probaremos con una ayudita: Ayudamos con el mayor divisor propio

Vamos a intentar buscar números que coincidan con la suma de ciertos divisores propios multiplicada por el mayor divisor propio de ese mismo tipo.

Por ejemplo, con cuadrados, el 650 tiene como divisores cuadrados propios el 25 y el 1 y se cumple 650=25*(25+1)

Así el panorama se aclara totalmente. Es mucho más fácil que un número coincida con esos productos.

El proceso que vamos a seguir, por pura diversión, es el siguiente:

* Para cada número natural elegimos un tipo de divisores: pares, cuadrados, oblongos,…
* Encontramos el mayor divisor propio de ese tipo
* Lo multiplicamos por la suma de todos los divisores propios de ese tipo, incluyendo él mismo.
* Comprobamos si coincide con el número dado

Hemos usado dos funciones que no explicaremos por no cansar, pero que no son difíciles de programar: MayorDivisorTipo, SumaDivisoresTipo, ambos actuando sobre divisores propios. Nos han resultado las siguientes curiosidades:

Con divisores sin restringir

 Nada que hacer. Por algo los números perfectos son tan admirables.

Divisores pares

Sólo existe el 4=2*2. En efecto, si el mayor divisor propio par de N lo multiplicamos por 2, ya sería igual a N. Si lo multiplicáramos por toda una suma de pares, nos resultaría mayor que N salvo este caso del 4.

Divisores impares

Aquí sí existen números con ese tipo de descomposición, y dan tanto juego que nos ocuparán toda la entrada y tendremos que dejar otros casos para la siguiente.

12, 56, 672, 992, 11904, 16256,…

12=3*(1+3)
56=7*(1+7)
672=21*(21+7+3+1)
992=31*(1+31)
11904=93*(93+31+3+1)
16256=127*(127+1)

Y aparecen los primos de Mersenne

¿Te suenan de algo 3, 7, 31 y 127? Pues sí, son primos de Mersenne. Además, 21 es el producto de 3 por 7 y 93 de 3 por 31. En todas las igualdades aparece un número de Mersenne.

Podemos demostrar que si un número se descompone según esta estructura

N=2m+n+p+…(2m-1)(2n-1)(2p-1)… (1)

siendo todos los paréntesis primos de Mersenne y distintos, cumplirá lo que le hemos exigido: El número coincidirá con su mayor divisor impar propio multiplicado por la suma de todos los divisores impares propios.

La idea es muy sencilla: los únicos divisores impares de N  provendrán de los paréntesis. El mayor de ellos será  el producto (2m-1)(2n-1)(2p-1)…y sabemos que la suma de divisores de p1p2p3…si son primos distintos es (p1+1)(p2+1)(p3+1)…, luego en este caso sería 2m2n2p…=2m+n+p+…, luego al multiplicar ambos, el mayor divisor impar propio y la suma, se reconstruye N según (1), que es lo que pretendíamos.

Luego se cumple la propiedad

Lo bueno es que también es verdadera la propiedad recíproca: Si N cumple que coincide con el producto entre su mayor divisor impar propio y la suma de todos los divisores impares propios, N ha de tener la estructura propuesta en (1). En efecto, dividamos N en factores primos impares y potencias de 2 (esto siempre es posible salvo trivialidades).

Sea N=2kp1p2p3…, con p1,p2,p3…, los primos impares y su producto el mayor divisor impar propio. Si los factores son distintos se ha de cumplir (p1+1)(p2+1)(p3+1)…=2k y esto sólo es posible si esos primos son de Mersenne: (2m-1)(2n-1)(2p-1)…. Sólo queda ajustar el exponente de 2 para que resulte la fórmula (1)

Queda el caso en el que hubiera algún factor repetido al menos, por lo que agrupando dos repeticiones, se tendría que cumplir que (pr)2+pr+1=2h, que es imposible, porque el primer miembro es impar. Por tanto hemos demostrado:

La condición necesaria y suficiente para que un número N cumpla la propiedad de coincidir con el producto de su mayor divisor impar propio y la suma de todos los divisores impares propios es que tenga la estructura

N=2m+n+p+…(2m-1)(2n-1)(2p-1)… (1)

siendo los paréntesis números primos de Mersenne distintos

Pero esto tiene otra consecuencia muy simple: si construimos todos los números con un solo primo de Mersenne y después los multiplicamos entre sí, resultarán otros con la misma propiedad. En el listado de arriba tienes dos ejemplos: 12*56=672 y 12*992=11904.

Para comprenderlo basta revisar la estructura (1) que hemos demostrado es necesaria y suficiente para el cumplimiento de lo exigido, pero la podemos interpretar así:

N=(2*2m-1(2m-1))*(2*2n-1(2n-1))*(2*2p-1(2p-1))…

Es decir, es un producto de dobles de números perfectos distintos.

Esto nos da un método para ampliar la lista. Tan sólo insertamos una imagen de los resultados de la primera generación obtenidos con STCALCU (http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#calcula)



Por ejemplo, el número 1090788524032 que figura en la tabla de arriba es el producto de dos números que duplican a otro perfecto:

1090788524032=16256*67100672 =(2*8128)*(2*33550336)=2*P(4)*2*P(5)

Es el producto de los dobles del cuarto y quinto número perfecto.

Puedes comprobar que su mayor divisor impar es 1040257, la suma de sus divisores impares es 1048576 y que su producto es 1090788524032. El primer número es también la parte impar de los divisores, ya que no sólo no contiene el factor 2, sino que todos los divisores impares son también divisores suyos. Igualmente, la potencia de 2 que le acompaña sería la parte par del número. Aquí sería 1048576=220 mientras que la parte impar es el producto de los primos de Mersenne: 1040257=127*8191

También hemos comprobado la lista con PARI, mediante el código

gdivodd(n)={m=n;while(m/2==m\2,m=m/2);return(m)}
{for (n=2,2*10^8,m=gdivodd(n)*sumdiv(n, d, d*(d%2));if(m==n,print(n)))}

Hemos reproducido con él estos primeros números: 12, 56, 672, 992, 11904, 16256, 55552, 195072, 666624, 910336, 10924032, 16125952, 67100672, 193511424,…) hasta 2*10^8)

Completados con razonamiento: 805208064, 903053312, 3757637632, 10836639744, 17179738112, 45091651584, 66563866624, 206156857344, 274877382656, 798766399488, 962065334272, 1090788524032…

Comenzamos con una búsqueda un poco aleatoria y se ha desembocado en una propiedad elegante, y relacionada con conceptos tan potentes como los primos de Mersenne y los perfectos. Para ser un entretenimiento, no está mal.

Esta sucesión la hemos publicado en OEIS con el número  A225880

En la siguiente entrada veremos otros tipos.