martes, 30 de octubre de 2012

Publicaciones temáticas



Las entradas que publicamos en este blog se suceden de forma espontánea, sin ningún orden temático y con sujeción a la actualidad. Esto produce que cuando una de ellas se basa en otra anterior pueda existir entre ambas una gran distancia temporal. A veces al mismo autor se le olvida el tratamiento dado a cualquier tema. Por otra parte, muchas de ellas presentan orientación teórica, lo que facilita su agrupamiento por temas.

Estas circunstancias nos han animado a iniciar publicaciones temáticas con algunas entradas. El resultado dista mucho de ser un manual ni una explicación sistemática de conceptos. Quien busque un instrumento académico de estudio debe hacerlo en otra parte. Simplemente se reúnen en un solo documentos los textos afines. En una primera entrega ofreceremos tres:

Sigmas y omegas

Funciones multiplicativas

Números y cifras

Estos documentos irán creciendo en sucesivas ediciones al irles incorporando nuevos temas. Por ello, cada título estará anunciado en este blog y en http://hojamat.es junto a su última edición. Si constituyen una pequeña ayuda para la mejor comprensión de los conceptos daremos por bien empleado nuestro trabajo.

domingo, 28 de octubre de 2012

Sumas de impares (2)

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes

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Conjuntos de sumas de impares

Esta propuesta invita a seguir pensando en sumas de números impares consecutivos a trozos, o mejor todavía, todas las sumas posibles de impares en las que no se repita ningún sumando. Todo número distinto de 2 se puede descomponer en suma de impares distintos, pues, si es impar, la suma la compondría él mismo, y si es par bastaría escribir N=(N-1)+1, suma de dos impares distintos, salvo que N=2.

Podemos representar estas sumas de varias formas. La entrada anterior nos sugiere una forma, y es considerar gnomones situados cada uno en su número de orden dejando huecos. Por ejemplo, la descomposición 15=1+5+9 se puede representar así:




Más compacta y conocida es la de no dejar hueco alguno y adosar las representaciones de los impares para conseguir un diagrama de Ferrers-Young simétrico.



Estos diagramas ayudan a entender las particiones de un número
 (ver http://mathworld.wolfram.com/FerrersDiagram.html)

El que nos ha resultado parece una escalera, pero no ha de ser siempre así. En la siguiente imagen puedes ver el correspondiente a 32=1+3+13+15


¿De cuántas formas se puede descomponer un número en suma de impares distintos?

Si acotamos el problema, por ejemplo a sumas de números inferiores o iguales a 2K-1 tendremos la posibilidad de considerar hasta 2K – 1 sumas diferentes, que son las formadas por los distintos subconjuntos de {1, 3, 5, … 2K-1} que son en total 2K  y a los que hay que quitar el conjunto vacío, por lo que quedan 2K – 1 sumas diferentes. Sin embargo, los posibles resultados de esas sumas son como mucho K2, porque la suma más pequeña es 1 y la mayor 1+3+5+ … +2K-1= K2.

El análisis anterior nos indica que a partir de K=5 existen más sumas posibles que resultados, luego a algunos de estos se les puede asignar dos o más sumas distintas. Esto era de esperar. Por ejemplo, 8=1+7=3+5

Hemos organizado con hoja de cálculo la búsqueda de todas las S(N) formas posibles de descomponer un número N en sumas de impares distintos. Esencialmente ha consistido en

(1) Calcular K, el orden del mayor impar que puede pertenecer a esas sumas. que para cada número N, que es ENTERO((N+1)/2)

(2) Formar un conjunto de K dígitos binarios, con valores 0,1. Sobre ellos se construyeron todas las variaciones con repetición posibles, que representaban los subconjuntos de {1, 3, 5, 7, … 2K+1}

(3) De las sumas construidas sobre esos subconjuntos se eligieron aquellas cuyo resultado fuera N para acumularlas a un contador y obtener S(N).

De esta forma hemos conseguido la sucesión de la imagen, que coincide con http://oeis.org/A000700



En ella vemos, por ejemplo, que el 16 admite cinco descomposiciones en suma de impares distintos:

16=7+9=5+11=3+13=1+15=1+3+5+7

y 17 otras cinco:

17=17=3+5+9=1+7+9=1+5+11=1+3+13

¿Ves una posible relación empírica?

Parece ser, según la tabla, que un número par y su siguiente suelen presentar el mismo número de descomposiciones, pero algunas otras veces no. Por eso hablamos de algo empírico y aproximado. Puede ser instructivo encontrar las sumas de cada uno para descubrir algunas coincidencias.

Hemos exigido que los números impares sean distintos, pero podríamos permitir repeticiones del tipo 17=1+3+3+3+7. Esto complicaría la cuestión y nos llevaría a las particiones de un número. Puedes consultar

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/02/particiones-de-un-numero.html 

y

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/02/funciones-de-particion-de-un-numero.html

En este caso usaríamos la función “partición en números impares”, que, según demostró Euler, coincide con la partición en partes distintas. (Ver http://oeis.org/A000009) En una entrada posterior comprobaremos esta propiedad.

Estas descomposiciones son casos particulares de la llamada representación de un número según una lista, que ya tratamos en otra entrada (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/02/frobenius-y-los-mcnuggets.html)

El concepto es el siguiente: dado un conjunto de números enteros positivos a1, a2, a3,…an, diremos que otro entero positivo N es representable según ese conjunto si existen coeficientes enteros no negativos x1, x2, x3,…xn tales que N= a1*x1+a2*x2+…an*xn

Si exigimos que los coeficientes sólo puedan valer 0 o 1, obtendremos la descomposición en elementos distintos, como hemos hecho en esta entrada. Si los dejamos libres pasaremos al caso general del problema, también llamado “de las monedas”.

Este problema bien merece otra entrada en la que presentemos una herramienta en hoja de cálculo para resolverlo.



martes, 23 de octubre de 2012

Las sumas de impares (1)

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes

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Una entrada del curso pasado la terminamos con esta propuesta

¿Qué opinas de esta serie de igualdades?






¿Son verdaderas? ¿Se pueden prolongar indefinidamente?¿Cuál es su valor común?

Al analizarla vemos que se manejan sumas de impares consecutivos. En cada una de las fracciones se han sumado varios impares consecutivos, se han “saltado” otros y después se han comenzado a sumar los siguientes.

En los numeradores se han saltado tantos impares como se han sumado cada vez (dos). La expresión de las sumas será entonces: (1+3+…2k-1)+(6k+1+6k+3+…)

que equivale a m2+9m2-4m2=6m2

En los denominadores se va formando m2+16m2-9m2=8m2

Luego los cocientes son equivalentes a 3/4

Gráficamente en los numeradores se da esta situación (imagen 1):


En ella vemos perfectamente que la suma equivale a 6 cuadrados como el pequeño de arriba a la izquierda, es decir, 6m2



En los denominadores se da esta otra (imagen 2), en la que podemos contar 8 cuadrados, que equivalen a 8m2, luego el cociente siempre será 6/8=3/4, que es la solución.

¿Ocurrirá siempre así? ¿Todas las configuraciones de este tipo representarán un múltiplo del cuadrado menor?. Lo vemos:


Sumas de impares consecutivos

Al sumar varios impares consecutivos se formaría un conjunto de gnomones adosados como el de la imagen. Su fórmula depende del gnomon inicial, que siendo k su número de orden (en la imagen 7, porque 13 es el séptimo)  viene dado por 2k-1 y el número de sumandos h. Si sumamos todos resultará 2k-1+2k+1+2k+3+…2k+2h-3 Acudimos a la suma de una progresión aritmética y daría (2k-1+2k+2h-3)*h/2=(2k+h-2)*h


En el caso de la imagen 3 el número de cuadraditos generado sería (2*7+4-2)*4=64=4h2 No debes interpretar esta cantidad en el sentido geométrico, pues el cuarto cuadrado, si observas la imagen, está formado por dos mitades, una en cada brazo del gnomón.

Este último resultado es casual, porque en general no resulta un múltiplo de h2. Lo puedes comprobar para k=8 y h=3, en el que (2*8+3-2)*3=51, que no es múltiplo de 9. Por tanto, no todos los gnomones adosados pueden representarse como un múltiplo del cuadrado de su anchura.

Serán descomponibles los que cumplan que 2k-2 sea múltiplo de h, pues entonces

(2k+h-2)*h=(Mh+h)*h=(M+1)*h2

Eso ocurre en este caso, en el que k=7 y h=3, con lo que 2*7-2=12 es múltiplo de 3. Calculando, el número engendrado sería (2*7+3-2)*3=45=5*32

Lo puedes verificar en la imagen 4


Otra forma de verlo es que esta suma de impares es una diferencia de cuadrados: (k+h-1)2 – (k-1)2 =2kh+h2-2k-2h+2k=(2k+h-2)*h y llegamos a la misma expresión.

A la inversa, si exigimos que el resultado sea del tipo Mh2, se dará (2k+h-2)*h= Mh2, lo que lleva a 2k+h-2=Mh y a 2k-2=(M-1)h, es decir a la condición sugerida de que 2k-2 sea múltiplo de h.

Las sumas con las que comenzamos este análisis (imágenes 1 y 2), no sólo lo cumplen, sino que de forma más fuerte: k-1 es múltiplo de h. Si este valor es impar, ambas condiciones son equivalentes, pero si es par no lo son.

Si exigimos que k-1 sea múltiplo de h, lo que logramos es que la partición en cuadrados tenga sentido físico, que se “vean” los cuadrados, como ocurre en la imagen 4 (y en las dos primeras si te imaginas los cuadrados troceados)

¿Y qué ocurre con el número de cuadrados?

Te proponemos una demostración:

Si exigimos la condición fuerte, que k-1 sea múltiplo de h, el número será par, e impar en el caso contrario.


martes, 16 de octubre de 2012

Esperanzas en el metro de Madrid



Ideas para el aula. Conteos ordenados.

El otro día tomamos un amigo y yo el metro para recorrer un trayecto que finalizaba en una estación desconocida para nosotros. Comentamos dónde situarnos en el andén de partida, y él me respondió: “En el centro”. ¿Habrías decidido tú lo mismo? Seguramente sí. Todos tenemos la percepción de que es el punto en el que es más probable que tengamos que caminar menos.

¿Lo entenderían así nuestros alumnos?¿Será la decisión más adecuada?

Podemos aprovechar esta situación para repasar los conceptos de variable aleatoria y esperanza matemática. Para ello tenemos que simplificar el problema:


  • En primer lugar, estudiaremos el tema como si la situación fuera totalmente aleatoria. 
  • También, para simplificar, reduciremos las entradas y salidas en cada andén a una sola (en Madrid hay muchas con dos). 
  • Supondremos que las salidas sólo están situadas en cinco posibles posiciones aproximadas: Serían dos extremas, a las que llamaremos A y E, la central C y las intermedias B y D. Podemos asignarles los números 1 al 5 y considerarlas aleatorias.










Variables

Variable X

Como deseamos estudiar el problema en general, llamaremos X a la variable, entre 1 y 5 que representa la posición de la puerta de entrada a nuestro andén desde la calle. Para esta estación sería una constante.

Variable Z

Será el punto del convoy que elijamos para subirnos. Hay muchas puertas, pero consideraremos sólo las cinco posiciones que hemos fijado.

Variable Y

Representa la puerta de salida de la estación de destino. Para nosotros, si la estación es desconocida, funciona como aleatoria (perdonadme los puristas).

Todo trayecto que recorramos en los andenes está condicionado por esas tres variables. Podemos contar distancias asignando la unidad a la longitud recorrida entre dos posiciones consecutivas. Así, las posibilidades de recorrer determinadas distancias entre X e Y vendrían dadas por tablas de doble entrada con las diferencias en valor absoluto entre valores. Habría cinco, una para cada elección nuestra de la variable Z. No es nada difícil reproducirlo en clase, y además es ameno.

Incluimos  las tablas para los valores de Z 1 y 2 y dejamos a los lectores y sus alumnos la confección de las tres restantes.

Subir en la posición 1 (Extrema)

















La columna de la derecha representa la entrada al primer andén. La fila de arriba la puerta de salida del segundo andén y en esta primera tabla suponemos que elegimos subir en la posición Z=1. Si nos situáramos en el extremo del convoy (Z=1) y preguntáramos a quienes se suben cuántos tramos han de recorrer sumando entrada y salida nos resultaría una media de 4 pasos, pues la tabla contene 25 posibilidades y la suma de tramos es 100.

Subir en la posición 2 (Intermedia)


















En este caso todas las posibilidades suman 70, luego la media de tramos recorridos será de 70/25=2,8. Hay una diferencia bastante grande con la anterior, que era de 4. Las personas que te encuentres en una posición intermedia han recorrido de media 2,8 tramos.

Subir en la posición 3 (Central)

Esta tabla la dejamos como ejercicio, aunque es la más importante, pero no vamos a descubrirlo todo. Hay que dejar que trabajen los alumnos. El resultado que debe dar es de 60 tramos totales con una media de 2,4.

Luego contando las situaciones de todos los viajeros que suban al metro, tenía razón mi amigo: Subir en el centro es lo más ventajoso si contamos todas las estaciones posibles de entrada y salida, pero…

El problema se planteó estando mi amigo y yo en una estación concreta. Dijimos al principio que esta posición era una constante. ¿Qué ocurrirá entonces?


Si has confeccionado las cinco tablas y ahora te fijas en las columnas de cada una, el mínimo de tramos esperados es cuando al llegar al andén no te mueves de tu sitio. No explicamos más. Le dejamos el trabajo a los alumnos.

No te lo creas hasta que no lo compruebes.

Así que dejémonos de cálculos: lo mejor es no moverse.

Otros cálculos

(1) Intenta con tus alumnos comprobar que la media de tramos recorridos por los viajeros si contamos todas las entradas, incorporaciones y salidas posibles (variables X,Y,Z) es de 3,2. Recuerda que en los extremos era 4, en los intermedios 2,8 y para el centro 2,4

Puedes usar una tabla total como esta:
















En ella también puedes calcular la desviación típica del conjunto de las 25 posibilidades, que es de 1,76

(2) Simulación: Una persona tira el dado desechando tirada si sale el 6 para simular la salida. Otra hace lo mismo con otro dado para simular la llegada.  Y una tercera para el convoy. Se restan en valor absoluto las dos tiradas. Se repite hasta 40 o 50 veces. Al final se estima la esperanza y la varianza.

(3) Con hoja de cálculo: Usamos ALEATORIO-ENTRE(1;5) para simular. Se escriben en dos columnas unas cien tiradas dobles y se restan aplicando la función ABS. Después se usa la función PROMEDIO (y VAR para la varianza). También nos sirve una calculadora que posea la función Rnd. La hemos realizado con hoja de cálculo y se confirma la media de 3,2 pasos para todas las posibilidades.

(4) Puedes plantear el problema con menos posiciones (por ejemplo 3) o con más. A ver qué consigues.

 
 
 
 
 

viernes, 5 de octubre de 2012

Las vueltas que da el SOPFR


Ciclos en iteraciones de la función SOPFR(N)

Construye en una hoja de cálculo en la que hayas implementado la función SOPFR (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2009/11/logaritmo-entero-3.html) el siguiente esquema de cálculo. Recuerda que SOPFR suma todos los factores primos de un número contando su multiplicidad. Así, sopfr(24)=2+2+2+3=11.


















El coeficiente C y el Inicio son números enteros que puedes elegir libremente. La segunda columna rotulada como SOPFR(N) contiene dicha función aplicada a los elementos de la primera. Así, 7=SOPFR(12)=2+2+3, 20=SOPFR(51)=3+17,…

Los demás elementos de la primera columna se construyen multiplicando el anterior de la segunda por el coeficiente y sumando después 1. Por ejemplo, 36=7*5+1, 506=101*5+1,…

Extiende este esquema hacia abajo hasta que descubras que los números de la segunda columna se quedan encerrados en un ciclo: 22, 40, 70. Si cambias el Inicio a 8, te puedes encontrar un ciclo de 23 elementos: {30089, 367, 103, 24, 193, 111, 134, 66, 46, 47. 42, 337, 63, 106, 286, 119, 953, 76, 39, 313, 175, 470, 3761}

Este es un comportamiento normal de estas recurrencias. Puedes ir cambiando el coeficiente  y siempre llegarás a un ciclo. Cambia también el inicio y verás que se llega al mismo final cíclico. Puede que te recuerde hechos parecidos, como el “fósil” de un número, el algoritmo 196, la conjetura de Collatz y otros.

En lugar de sumar 1 puedes elegir otro número cualquiera. Incluso lo puedes incorporar al esquema de cálculo



















Sustituimos la iteración A(n+1)=SOPFR(8*A(n)+1) por A(n+1)=SOPFR(8*A(n)+D) y entonces aumenta nuestra sorpresa, porque ahora la longitud del ciclo varía de un valor a otro de D. Por ejemplo, si D=17 el ciclo se reduce a la unidad, pues se llega al punto fijo 34, mientras que para D=29 se desemboca en un ciclo de 29 elementos.

No parece relevante si C y D son o no coprimos, porque al ser SOPFR aditiva los factores comunes se pueden sacar como sumandos. Lo que sí ocurre es que los resultados para valores cercanos de C o D son muy dispares, como puedes comprobar en la tabla que hemos creado para C=12



Investigando por ahí nos hemos dado cuenta de que a veces, según el valor de inicio pueden obtenerse unos ciclos distintos. Prueba con C=7 y D=3. No parece que se altere la longitud del ciclo si cambiamos el valor inicial. En este caso siempre vale 8.


Caso C=1 D=0

Si fijamos estos valores los ciclos siempre tendrán longitud 1, es decir, que se llegará a un único valor fijo o invariante. La razón es que vimos en su momento que SOPFR(N) es siempre menor o igual a N (la igualdad se da en los primos y en el 4), por lo que la sucesión formada será decreciente y al llegar al primer primo (o el 4) entrará en un valor fijo.

Lo tienes estudiado en  http://oeis.org/A029909

Estos son los puntos fijos a los que se llega desde los números que no son primos (con el 1 incluido)

0, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 13, 5, 7, 5, 5, 11, 7, 7, 5, 19, 7, 7, 7, 5, 11, 7, 5, 11, 7, 11, 5, 7, 5, 17, 11, 5, 13, 13, 31, 7, 5, 13, 7, 5, 5, 7,…

Como ves, son todos primos salvo el 4. Son los números para los que SOPFR(N)=N

Hemos estudiado cuántos pasos necesita cada número no primo para llegar a su punto fijo. Por ejemplo, el 51 necesita 4 pasos: sopfr(51)=17+3=20, sopfr(20)=2+2+5=9, sopfr(9)=3+3=6, sopfr(6)=2+3=5 y sopfr(5)=5. Se ha llegado al 5 en cuatro pasos.

El resultado ha sido

1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 3, 4, …

Otros ciclos

Sorprendentemente, estos ciclos también aparecen si la función SOPFR se reitera sobre la suma de los dos anteriores términos. En la imagen hemos comenzado la iteración con los números 291 y 405. Debajo le hemos calculado la suma de divisores primos de su suma:



291+405=696=2^3*3*29, luego sopfr(291+405)=2+2+2+3+29=38, como puedes comprobar en la imagen. Reiteramos: 405+38=443, que es primo, luego sopfr(405+38)=443. Después sumaríamos 38+443…y así seguiríamos reiterando.

Al final se desemboca en el ciclo {19,11,10,10,9}

Más sorprendente todavía: reitera con tres, cuatro o cinco sumandos y seguirás obteniendo ciclos.
Intenta investigar las causas y si existen otras variantes de iteración.

Alguien ha construido autómatas celulares en los que se ven muy bien los ciclos, pero no hemos podido localizarlos.