miércoles, 5 de diciembre de 2012

Más pasos hacia la complejidad (2)



Función DISTSEMI

Igual que hemos hecho para semiprimos inferiores en la anterior entrada lo podemos intentar para los superiores. Definiremos DISTSEMI(P) para P primo como la diferencia con el menor semiprimo superior a él

Esta función también está definida para todo número primo, incluidos el 2 y el 3, porque todo primo P es inferior al semiprimo 2P, luego el conjunto de semiprimos mayores que P no está vacío y poseerá un mínimo, que será el buscado.

Sus primeros valores son



2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
2
1
1
2
3
1
4
2
2
4
2
1



Una lista más completa es 2, 1, 1, 2, 3, 1, 4, 2, 2, 4, 2, 1, 5, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 9, 5…

Esta sucesión no estaba publicada en OEIS, por lo que la hemos incorporado con el número A217612

http://oeis.org/A217612

Sí figuran en el catálogo los valores de los semiprimos en los que se convierte P al sumarle DISTSEMI(P) (ver http://oeis.org/A102414).

Sus valores también crecen muy lentamente. Su máximo para primos menores que 10000 es de 23, que se alcanza en P=8819. Estos son los primeros máximos:

2              2
11            3
17            4
41            5
97            9
599        12
1423      14
2683      18
6563      20
8819      23
32779    28
35983    36

También podemos conjeturar que DISTSEMI(P)/P tiende a cero al crecer P indefnidamente.


Otras cuestiones

Puede ocurrir que DISTSEMI(N)=DISTSEMI2(N), con lo que N sería la media aritmética de dos semiprimos (ver http://oeis.org/A103654)

También que DISTSEMI(N)=1 con lo que N y (N+1)/2 son ambos primos (ver http://oeis.org/A005383)  (¿por qué?)

Para  DISTSEMI(N)=2 resultan estos números

2, 7, 19, 23, 31, 47, 53, 67, 83, 89, 109, 113, 127, 131, 139, 167, 181, 199, 211, 233, 251, 257, 263, 293, 307, 317, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 443, 449, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 557, 563, 571, 577, …

Esta sucesión es una subsucesión de  http://oeis.org/A063637

En ella están aquellos en los N y N+2 son semiprimos, pero N+1 no. Así, el 13 está en http://oeis.org/A063637 pero DISTSEMI(13)=1 y por eso no está en nuestra sucesión.

NOTA: Existen pares y tríos de semiprimos consecutivos, pero no conjuntos de 4, porque uno de ellos sería múltiplo de 4.

Podríamos seguir buscando más valores, pero hay que respetar el cansancio de los lectores.