jueves, 8 de noviembre de 2012

¿Es el 2013 suma de cubos distintos?



La herramienta de descomposición de un número en sumandos (a la que llamaremos PARTLISTA para entendernos en lo que sigue)

(http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#reprenum)

 presentada en la entrada anterior nos es útil también para resolver problemas.

Proponemos algunos:

(a) ¿Es el 2013 suma de cubos distintos?

Resulta que la respuesta es negativa, pero manualmente es muy difícil demostrarlo. Tenemos los siguientes candidatos a sumandos: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728
Para intentar dar respuesta podríamos comenzar por 1728 e irle sumando cubos hasta desecharlo: 1728+1331 se pasa. Con 1000 también se pasa. Llegaríamos a 1728+216=1944, con lo que nos faltarían 69, que rellenaríamos con el 64: 1278+216+64=2008, con una diferencia de 5 que no sabemos rellenar.

Al llegar a este punto iríamos hacia atrás: sustituir 216 por otro menor, como 125 y tendríamos 1728+125+64=1917, al que le faltan 96 para llegar a 2013 y no sabemos cómo rellenarlos.  Iríamos fracasando con el 1278 y tendríamos que sustituirlo por 1331 y vuelta a empezar. En la hoja que estamos usando se ha optado por crear todas las combinaciones posibles de 0 y 1 y asignar a cada una la suma de cubos correspondiente. Es un camino largo, pues son muchas combinaciones, pero seguro.
Dale los datos del 2013 y te devolverá 0 resultados.

Si el 2013 no es suma de cubos distintos, ¿lo será algún otro año próximo? Plantea una lista a ver qué encuentras. Te damos uno: 2010= 1+ 64+ 216+ 729+ 1000. Sólo te diremos que un poco más adelante aparecerán cuatro seguidos.

(b) El 1729 de Ramanujan

Este popular número incluido en una anécdota de Ramanujan (busca, busca…) se caracteriza por ser el primero en poderse expresar como suma de dos cubos de dos formas diferentes: 1729=12^3+1^3 = 9^3+10^3

¿Hay otras formas de expresarlo como suma de cubos pero de más sumandos? Usa la hoja de cálculo para encontrarlas.

(c)  Una distancia con varillas

Disponemos de un número suficiente de varillas con tres longitudes distintas, que son 12 cm. 17 cm. y 35 cm. ¿Podemos formar con ellas una longitud de 100 cm. tomando las que queramos de cada clase? La respuesta es afirmativa, pero para más detalles echa a andar la máquina. También sería bueno lograrlo sin ella.

Si la varilla mayor fuera de 31 cm. no se podría. Compruébalo.

(d) Multidescompuesto

El número 9 es suma de cuadrados distintos, también de cubos y también de primos, siempre distintos: 9=9=1+8=2+7 ¿Cuál es el siguiente número con esa propiedad?

(e) El número de Frobenius

¿Recuerdas el número de Frobenius? Lo puedes repasar en

(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/02/frobenius-y-los-mcnuggets.html)

Pues la idea es que encuentres empíricamente el número de Frobenius del conjunto {7, 11, 19}

(f) Particiones de un número

Con PARTLISTA puedes también averiguar el número de particiones de un número en sumandos cualesquiera, con o sin repetición ¿Qué números escribirías en la lista? Calcula bien, no te vayas a pasar.

Por ejemplo, el número 7 se descompone así (con repetición)

7=7=6+1=5+2=4+3=5+1+1=4+2+1=4+1+1+1=3+3+1=3+2+2=3+2+1+1=3+1+1+1+1=2+2+2+1=2+2+1+1+1=2+1+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1

En total son 15 particiones ¿Sabrías reproducirlas?

Sin embargo, si eliminamos repeticiones quedan 5 (basta con que taches aquellas en las que se repite) Intenta también reproducir este número.

(g) Fieles a sí mismos

(a) Encuentra un número primo N que se puede descomponer exactamente en N sumas distintas de números primos (con repetición y contando con él mismo)

(b) Encuentra un número triangular N que se puede descomponer exactamente en N sumas distintas de números triangulares.

Que te diviertas.

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