martes, 16 de octubre de 2012

Esperanzas en el metro de Madrid



Ideas para el aula. Conteos ordenados.

El otro día tomamos un amigo y yo el metro para recorrer un trayecto que finalizaba en una estación desconocida para nosotros. Comentamos dónde situarnos en el andén de partida, y él me respondió: “En el centro”. ¿Habrías decidido tú lo mismo? Seguramente sí. Todos tenemos la percepción de que es el punto en el que es más probable que tengamos que caminar menos.

¿Lo entenderían así nuestros alumnos?¿Será la decisión más adecuada?

Podemos aprovechar esta situación para repasar los conceptos de variable aleatoria y esperanza matemática. Para ello tenemos que simplificar el problema:


  • En primer lugar, estudiaremos el tema como si la situación fuera totalmente aleatoria. 
  • También, para simplificar, reduciremos las entradas y salidas en cada andén a una sola (en Madrid hay muchas con dos). 
  • Supondremos que las salidas sólo están situadas en cinco posibles posiciones aproximadas: Serían dos extremas, a las que llamaremos A y E, la central C y las intermedias B y D. Podemos asignarles los números 1 al 5 y considerarlas aleatorias.










Variables

Variable X

Como deseamos estudiar el problema en general, llamaremos X a la variable, entre 1 y 5 que representa la posición de la puerta de entrada a nuestro andén desde la calle. Para esta estación sería una constante.

Variable Z

Será el punto del convoy que elijamos para subirnos. Hay muchas puertas, pero consideraremos sólo las cinco posiciones que hemos fijado.

Variable Y

Representa la puerta de salida de la estación de destino. Para nosotros, si la estación es desconocida, funciona como aleatoria (perdonadme los puristas).

Todo trayecto que recorramos en los andenes está condicionado por esas tres variables. Podemos contar distancias asignando la unidad a la longitud recorrida entre dos posiciones consecutivas. Así, las posibilidades de recorrer determinadas distancias entre X e Y vendrían dadas por tablas de doble entrada con las diferencias en valor absoluto entre valores. Habría cinco, una para cada elección nuestra de la variable Z. No es nada difícil reproducirlo en clase, y además es ameno.

Incluimos  las tablas para los valores de Z 1 y 2 y dejamos a los lectores y sus alumnos la confección de las tres restantes.

Subir en la posición 1 (Extrema)

















La columna de la derecha representa la entrada al primer andén. La fila de arriba la puerta de salida del segundo andén y en esta primera tabla suponemos que elegimos subir en la posición Z=1. Si nos situáramos en el extremo del convoy (Z=1) y preguntáramos a quienes se suben cuántos tramos han de recorrer sumando entrada y salida nos resultaría una media de 4 pasos, pues la tabla contene 25 posibilidades y la suma de tramos es 100.

Subir en la posición 2 (Intermedia)


















En este caso todas las posibilidades suman 70, luego la media de tramos recorridos será de 70/25=2,8. Hay una diferencia bastante grande con la anterior, que era de 4. Las personas que te encuentres en una posición intermedia han recorrido de media 2,8 tramos.

Subir en la posición 3 (Central)

Esta tabla la dejamos como ejercicio, aunque es la más importante, pero no vamos a descubrirlo todo. Hay que dejar que trabajen los alumnos. El resultado que debe dar es de 60 tramos totales con una media de 2,4.

Luego contando las situaciones de todos los viajeros que suban al metro, tenía razón mi amigo: Subir en el centro es lo más ventajoso si contamos todas las estaciones posibles de entrada y salida, pero…

El problema se planteó estando mi amigo y yo en una estación concreta. Dijimos al principio que esta posición era una constante. ¿Qué ocurrirá entonces?


Si has confeccionado las cinco tablas y ahora te fijas en las columnas de cada una, el mínimo de tramos esperados es cuando al llegar al andén no te mueves de tu sitio. No explicamos más. Le dejamos el trabajo a los alumnos.

No te lo creas hasta que no lo compruebes.

Así que dejémonos de cálculos: lo mejor es no moverse.

Otros cálculos

(1) Intenta con tus alumnos comprobar que la media de tramos recorridos por los viajeros si contamos todas las entradas, incorporaciones y salidas posibles (variables X,Y,Z) es de 3,2. Recuerda que en los extremos era 4, en los intermedios 2,8 y para el centro 2,4

Puedes usar una tabla total como esta:
















En ella también puedes calcular la desviación típica del conjunto de las 25 posibilidades, que es de 1,76

(2) Simulación: Una persona tira el dado desechando tirada si sale el 6 para simular la salida. Otra hace lo mismo con otro dado para simular la llegada.  Y una tercera para el convoy. Se restan en valor absoluto las dos tiradas. Se repite hasta 40 o 50 veces. Al final se estima la esperanza y la varianza.

(3) Con hoja de cálculo: Usamos ALEATORIO-ENTRE(1;5) para simular. Se escriben en dos columnas unas cien tiradas dobles y se restan aplicando la función ABS. Después se usa la función PROMEDIO (y VAR para la varianza). También nos sirve una calculadora que posea la función Rnd. La hemos realizado con hoja de cálculo y se confirma la media de 3,2 pasos para todas las posibilidades.

(4) Puedes plantear el problema con menos posiciones (por ejemplo 3) o con más. A ver qué consigues.