martes, 25 de septiembre de 2012

De SOPFR en SOPFR

(Con esta entrada participamos en la edición 3,141592 del  Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será un blog de muchísima calidad: ZTF News)


¿Qué te parece esta igualdad? Quizás la hayas visto ya publicada.

2*2*2*3*3*3*5*5*5 = (2+2+2+3+3+3+5+5+5)3

Ambos miembros dan como resultado 27000.

No es la única de este tipo. Ahí va otra:

3*3*3*3*3*3*3*5*5*5*5*5*5*5*7*7*7*7*7*7*7= (3+3+3+3+3+3+3+5+5+5+5+5+5+5+7+7+7+7+7+7+7)7

Aquí el resultado común es 140710042265625, como puedes comprobar con alguna calculadora potente.

Estas dos igualdades no provienen de la casualidad, sino que se desprenden de unas propiedades que veremos a continuación. De hecho hay infinitas igualdades de este tipo, cada vez más complicadas.

La función SOPFR

Quienes acostumbráis a tratar estos temas habréis adivinado que se habrá usado alguna función aditiva, y así es. Todo esto se basa en el logaritmo entero o función SOPFR, que ya tratamos en otra entrada (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2009/11/logaritmo-entero-1.html). En ella definimos SOPFR(N) como la suma de todos los factores primos de N contando sus multiplicidades y explicamos que es una función aditiva (por eso recibe el nombre de logaritmo entero), porque se cumple que

sopfr(a*b)=sopfr(a)+sopfr(b).

Si volvemos a la primera igualdad nos daremos cuenta de que el primer miembro es la factorización prima de 27000=23*33*53 y el contenido del paréntesis del segundo miembro es la suma de sus factores primos, luego es sopfr(27000). Por tanto, lo que expresa la igualdad es que

27000=(sopfr(27000))3

Del mismo modo, la segunda se puede escribir así:

140710042265625=(sopfr(140710042265625))7

Nos las tenemos que ver con números muy grandes, pero afortunadamente una propiedad que vamos a demostrar nos facilitará la tarea de encontrar más igualdades de este tipo. La explicamos por partes:

(a) Si un número natural es potencia de otro, ambos comparten los mismos factores primos. No hay que pensar esto mucho. Imagina el caso contrario y sería imposible que uno fuera potencia del otro. Más aún, los exponentes de la potencia serán múltiplos de los correspondientes en la base. Elemental también.

(b) Como SOPFR es una función aditiva, se cumplirá que

SOPFR(AB) = B*SOPFR(A)

(c) Las igualdades presentadas son del tipo N=(SOPFR(N))K. Si aplicamos lo explicado en (b) obtendremos

SOPFR(N)=K*SOPFR(SOPFR(N))

(d) A la inversa, si M cumple que M=k*SOPFR(M) se tendrá que

SOPFR(MK)=K*SOPFR(M)= M

Hemos llegado a esto:

Si un número es potencia de su logaritmo entero, este a su vez será múltiplo de su respectivo logaritmo entero y a la inversa

No te dejes impresionar y léelo bien: en lugar de buscar números enormes que son grandes potencias de otros, podemos comenzar por buscar aquellos que son múltiplos de su logaritmo entero y el cociente entre ambos será el exponente de la potencia buscada.

Lo del principio sobrepasaba la capacidad de las hojas de cálculo, pero esta otra versión no. En lugar de buscar N buscaremos SOPFR(N) y después la elevaremos, si podemos, a la potencia k.

Nos dedicaremos sólo a potencias no triviales, porque si k=1 nos resultaría el 4 y todos los números primos (¿por qué?)


Búsqueda de números múltiplos de su logaritmo entero

La codificación de la función SOPFR no es difícil. Hemos publicado varias parecidas.

Public Function sopfr(n) ' logaritmo entero -  suma primos con repetición
Dim ene, f, c, s

ene = n
f = 1
s = 0
While ene > 1
f = f + 1
While ene / f = Int(ene / f)
ene = ene / f
s = s + f
Wend
Wend
sopfr = s
End Function

Recorre los posibles divisores de N y los va acumulando en un contador S que después se convertirá en SOPFR. Al ir dividiendo n entre los divisores que salen, se garantiza que todos son primos.

Con esta función es fácil ir encontrando aquellos números que son múltiplos no triviales de su función SOPFR (excluimos cuando son iguales, para librarnos de los primos). Estos son los primeros:




Número N
SOPFR(N)
Cociente K
16
8
2
27
9
3
30
10
3
60
12
5
70
14
5
72
12
6
84
14
6
105
15
7
150
15
10
180
15
12
220
20
11
231
21
11
240
16
15
256
16
16
286
26
11
288
16
18



(Están publicados en http://oeis.org/A046346)

Si has entendido la parte teórica (comprendemos que no es fácil), comprenderás que si elevamos los números de la primera columna a los de la tercera, resultarán todos los que cumplen

N=(SOPFR(N))K


Resultan estos:

256, 19683, 27000, 777600000, 1680700000, 139314069504, 351298031616, 140710042265625, 5766503906250000000000, 1156831381426176000000000000, 58431830141132800000000000, 99938258857146531850367031,…

La hemos publicado en http://oeis.org/A216397

Con cualquiera de ellos puedes construir igualdades tan llamativas como las que presentamos al principio.

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