domingo, 11 de marzo de 2012

Subida a ritmo de M.C.M (2)

Relación con los factoriales

Dijimos en la entrada anterior que la sucesión A(n) subía rápido, pero la de factoriales más. Si dividimos los factoriales entre los MCM que estamos estudiando nos da esta otra sucesión C(n), que basta verla para comprender las distintas “velocidades”:

1, 1, 1, 2, 2, 12, 12, 48, 144, 1440, 1440, 17280, 241920, 3626800…(http://oeis.org/A025527)

¿Qué números no aportan nada y dejan los valores iguales? Los primos, porque para pasar de (n-1)! a n! hay que multiplicar por n, pero esta operación es la misma que hay que realizar en la sucesión A(n) si n es primo.

Podemos emprender el mismo estudio que para A(n) y es dividir cada término por  el anterior.



Tienes esta sucesión D(n) en http://oeis.org/A048671

En esta tabla vemos que las potencias de primos pr hacen crecer los términos en pr-1 y el resto aporta su propio valor. Para justificarlo volvemos a considerar el paso de (n-1)! a n! y de MCM(1,2,3,…n-1) a MCM(1,2,3,..n):

  •  Vimos que en los primos en ambos casos se multiplicaba por el mismo número primo y por eso en ellos C(N)/C(N-1)=1=p0=p1-1, luego se cumple.


  •  En el caso de las potencias de primos el factorial se incrementa multiplicándose por pr y los MCM s incrementan en p, luego el cociente se incrementará en pr-1, como hemos afirmado.


  •  En los demás casos el factorial se multiplica por n y el MCM queda igual, luego C(n) quedará también multiplicada por n.


Pero bueno, ¿qué es todo esto? Pues sencillamente, que B(n)*D(n)=n Era de esperar. Una aporta lo que le falta a la otra para ser n. Ahí lo tienes:

Los múltiplos y divisores nunca dejan de asombrarnos.

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