martes, 6 de marzo de 2012

Subida a ritmo de M.C.M (1)

Si te paras unos segundos, ¿sabrías descubrir cómo se ha generado esta sucesión?

1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560…(http://oeis.org/A003418)

Se parece a la de factoriales, pero crece a menos ritmo.

¿Ya lo sabes? Se trata del M.C.M. de los primeros números naturales: A(n)=MCM(1,2,3,…n). Así el 420=M.C.M(1,2,3,4,5,6,7)

La puedes engendrar con hoja de cálculo, escribiendo los primeros números y abajo encuentras el M.C.M del número de arriba y el número de la izquierda. No damos más detalles.


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6
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60
60
420
840
2520
2520
27720
27720
360360
360360













Una bonita pregunta es qué aporta cada número al resultado final del MCM. Observa en la tabla que el valor A(5)=60 y A(6)=60 también. ¿Por qué el 6 no ha aportado nada al cálculo? Parece ser que sus factores primos estaban ya contabilizados. Entonces, ¿cuáles aportan? Para verlo más claro dividiremos A(n) entre A(n-1)

Si dividimos cada MCM  por el anterior nos resulta la sucesión B(n), si definimos B(1)=1

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, 23,…(http://oeis.org/A014963)

Con hoja de cálculo se ve mejor:


Sólo aportan un factor mayor que 1 los números primos y sus potencias. Es claro que es porque sólo ellos suponen algo nuevo. El resto, como el 12, usa factores que ya han aportado el 3 y el 4. ¿Qué ocurre entonces? Que al llegar a cada potencia de primo se habrá acumulado este tantas veces como indique esa potencia.

Estudia el 8. Antes de él ha aparecido el 2 como factor de sí mismo y como factor de 4. Con el 2 que aporta el 8 ya tenemos tres, que es precisamente el exponente correspondiente al 8.

En esta sucesión se van acumulando los factores primos de forma que al llegar sus potencias las reproducen exactamente.

Esto tiene una consecuencia muy elegante:


Si tomas todos los divisores de un número y multiplicas los factores que aportan al MCM (sucesión B(n)) nos resultará de nuevo ese número.

Por ejemplo, en el caso de 24 tendríamos:

Divisores:                 1,  2,  3,   4,   6,   8,   12,   24
Valores de B(n):     1,  2,  3,   2,   1,   2,   1,     1

Es evidente que el producto de los valores de B(n) vuelve a dar 24.

¿Conoces la función de Mangoldt? Si has leído a nuestro amigo Rafael Parra te sonará (http://hojamat.es/parra/funesp.pdf)

Pues bien, nuestra función B(n) es la exponencial de dicha función. Si tomas logaritmos en B(n) obtendrás 0, log(2), log(3), log(2), log(5), 0,… que es la definición de la función de Mahgoldt (tomamos la imagen de http://mathworld.wolfram.com/MangoldtFunction.html)


Quiere decir que si tomamos logaritmos en la fórmula de arriba nos resultará esta otra:


que podrás encontrar en textos de Teoría de Números. No seguimos por ahí.