sábado, 14 de enero de 2012

Números de Aquiles (3) Damos otra vuelta

Segunda vuelta

Emparedado de Aquiles

El conjunto de divisores de un número de Aquiles N que también sean aquileanos no es vacío, luego tendrá un máximo, eventualmente el mismo N. El de múltiplos también tendrá un mínimo. Para que sea más útil consideraremos el mínimo múltiplo con la condición de que sea distinto de N, y el máximo divisor, si es posible, que también lo sea. Llegaremos así a “emparedar” N, en el sentido que ya le dimos a los “emparedados de cuadrados”, de encerrarlo entre dos congéneres. He aquí los resultados


Cociente Máx Div. Aq. Aquiles Mín. Múlt. Aq. Cociente Holgura Factores
1 72 72 288 4 4 2 2 2 3 3
1 108 108 432 4 4 2 2 3 3 3
1 200 200 800 4 4 2 2 2 5 5
4 72 288 864 3 12 2 2 2 2 2 3 3
1 392 392 1568 4 4 2 2 2 7 7
4 108 432 864 2 8 2 2 2 2 3 3 3
1 500 500 2000 4 4 2 2 5 5 5
6 108 648 1944 3 18 2 2 2 3 3 3 3
1 675 675 2700 4 4 3 3 3 5 5
4 200 800 3200 4 16 2 2 2 2 2 5 5
2 432 864 2592 3 6 2 2 2 2 2 3 3 3
1 968 968 3872 4 4 2 2 2 11 11
9 108 972 1944 2 18 2 2 3 3 3 3 3
1 1125 1125 4500 4 4 3 3 5 5 5
4 288 1152 3456 3 12 2 2 2 2 2 2 2 3 3
1 1323 1323 5292 4 4 3 3 3 7 7
1 1352 1352 5408 4 4 2 2 2 13 13
1 1372 1372 5488 4 4 2 2 7 7 7
4 392 1568 6272 4 16 2 2 2 2 2 7 7
9 200 1800 5400 3 27 2 2 2 3 3 5 5
2 972 1944 3888 2 4 2 2 2 3 3 3 3 3



En negrita hemos destacado los números de Aquiles N, en cursiva, a izquierda su mayor divisor que también es de Aquiles. Para que no deje de existir hemos permitido que no sea un divisor propio. A su derecha el mínimo múltiplo de N  también de Aquiles.

Más a los lados figuran los cocientes entre N y sus “emparedadores”. Si multiplicamos esos cocientes nos dará la “holgura”, el espacio por el que puede mover N antes de llegar al siguiente número de Aquiles.

Finalmente, en la última columna tenemos la explicación de todo, los factores primos de N. Invitamos al cálculo de la holgura manualmente, sin ayuda de hoja de cálculo, para ver cuánto se aprende sobre los números de Aquiles.

Un ejemplo es el número 1800=2*2*2*3*3*5*5=2^3*3^2*5^2. Es de Aquiles porque sus exponentes son primos entre sí y todos mayores que la unidad. Probemos a ir suprimiendo factores: el 2 no podemos suprimirlo, pues se igualarían los exponentes y obtendríamos una potencia. Un 3 o un 5 tampoco, porque daría exponente 1. Luego habrá que probar a suprimir dos factores. Como 2*2 no se puede (¿por qué?), probamos la solución mínima, 3*3, que si deja un divisor igual a 200=2*2*2*5*5=2^3*5^2, que coincide con la tabla. Otra solución sería suprimir 5*5, pero ya nos daría un divisor más pequeño.

Con el múltiplo nos ocurriría lo mismo. Omitimos los pasos. La solución mejor es aumentar un 3 y llegar al múltiplo 5400=2*2*2*3*3*3*5*5=2^3*3^3*5^2. Queda así comprobado que la holgura de 1800 es 27: dos veces el 3 para conseguir el divisor y una vez para el múltiplo.

Puedes intentar razonar la holgura de otros números de la tabla o fuera de ella. Aprenderás mucho.
Si en un número N de Aquiles presenta un mayor divisor propio también de Aquiles, tendrá un cociente por la izquierda equivalente a un número primo (¿por qué?). Los números que tienen esa propiedad son estos:

864 1944, 3888, 4000, 5400, 6912, 9000, 10584, 10800, 10976, 17496, 18000, 21168, 21600, 24696, 25000, 26136, 30375, 31104, 32000, 34992, 36000, 36504, 42336, 42592, 43200, 48600, 49000, 49392, 50000…(los hemos publicado en http://oeis.org/A203662)

En ellos se cumplen dos propiedades que podrías intentar justificar:

El exponente del menor factor primo de cada uno de ellos es mayor que 2.
Todos tienen los mismos factores primos (salvo los exponentes) que su mayor divisor propio.

Un ejercicio muy interesante es tomar los primeros primos 2, 3, 5, … y combinar sus potencias para formar números de Aquiles, procurando que la primera tenga al menos exponente 3, y que al suprimir el factor más pequeño siga resultando un número de Aquiles. Por ejemplo: 2*2*2*2*3*3*3*3*3 es de Aquiles y si suprimimos un 2, queda 2*2*2*3*3*3*3*3, también de Aquiles. Si calculas descubrirás que se trata de 1944, que ya está en la tabla.

La cuestión inversa es mucho más fácil, porque el mínimo múltiplo de un número es su doble. Así que sólo habrá que buscar números de Aquiles cuyo doble también lo sea. Son estos:

432, 972, 1944, 2000, 2700, 3456, 4500, 5292, 5400, 5488, 8748, 9000, 10584, 10800, 12348, 12500, 13068, 15552, 16000, 17496. 18000, 18252... (http://oeis.org/A2036623)

Otro emparedado

Podemos emparedar un número de Aquiles N mediante potencias, una que sea el mínimo múltiplo de N que sea potencia perfecta y el otro el máximo divisor con ese carácter.

Los resultados serían estos

a/d divipot Aquiles Multipot m/a
2 36 72 144 2
3 36 108 216 2
2 100 200 400 2
2 144 288 576 2
2 196 392 784 2
2 216 432 1296 3
4 125 500 1000 2
2 324 648 1296 2
3 225 675 2025 3
2 400 800 1600 2
4 216 864 1728 2
2 484 968 1936 2
3 324 972 2916 3
5 225 1125 3375 3
2 576 1152 2304 2
3 441 1323 3969 3
2 676 1352 2704 2
4 343 1372 2744 2
2 784 1568 3136 2
2 900 1800 3600 2
6 324 1944 5832 3
2 1000 2000 8000 4
2 1156 2312 4624 2
2 1296 2592 5184 2
3 900 2700 8100 3
2 1444 2888 5776 2
7 441 3087 9261 3
2 1600 3200 6400 2
3 1089 3267 9801 3
2 1728 3456 13824 4
2 1764 3528 7056 2
2 1936 3872 7744 2
3 1296 3888 7776 2
4 1000 4000 8000 2


Es interesante la parte derecha, porque el cociente da una pista sobre los números de Aquiles que pueden estar intercalados, como ocurre con el número 10584. Sólo incluimos la tabla para que puedas analizarla y buscar explicaciones.



N Es de Aquiles
1 10584 VERDADERO 2 2 2 3 3 3 7 7
2 21168 VERDADERO
3 31752 VERDADERO
4 42336 VERDADERO
5 52920 FALSO
6 63504 FALSO

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