jueves, 12 de enero de 2012

Números de Aquiles (2) Damos unas vueltas

Primera vuelta


Jerarquía entre aquileanos

En una entrada anterior definimos los números de Aquiles como números poderosos que no pueden representarse como potencias perfectas y vimos que se podían escribir como N=a2b3 con a y b naturales y mayores que 1.

¿Es posible que algún divisor propio de un número de Aquiles también tenga esa propiedad?

Basta pensar un poco en ello y descubrir que sí es posible: Toma dos números primos entre sí mayores que 1, como el 2 y el 5. Añade a ellos otro que forme un trío de números también primos entre sí (no hace falta que lo sean dos a dos). En nuestro ejemplo podría ser el 6. Con el conjunto 2,5,6 como signatura formamos un número de Aquiles mediante tres primos p,q,r. Así: N=p2q5r6, Si ahora dividimos entre r6, nos quedará p2q5, que es divisor propio de N y también es de Aquiles.

Es posible, pero no necesario. De hecho, existen números de Aquiles cuyos divisores propios no son de ese tipo, como el 72. ¿Qué caracteriza a esos números? Vamos a demostrar que son aquellos cuya signatura prima es (2,3), es decir, que son de la forma p2q3 con p y q ambos primos.

Son números de Aquiles minimales los que tienen la forma p2q3 con p y q ambos primos.

Vimos en la anterior entrada sobre este tema que todo número de Aquiles se puede expresar como N=a2b3 con a y b naturales y mayores que 1. Si uno de ellos es compuesto, por ejemplo a, sea a=a’*k con a’ mayor que 1 y N se puede expresar como N=(a’*k)2b3 = (a’2*b3)*k2. El paréntesis es un número de Aquiles y divisor de N, luego es necesario que a y b sean primos para que N sea minimal.

Inversamente, si a y b son primos mayores que 1, los únicos divisores propios de N estarían en este conjunto: 1, a, b, a2, b2, b3, ab, ab2, a2b, ab3, a2b2, y ninguno cumple lo exigido a un número de Aquiles.

Según esto, los números de Aquiles minimales  son los contenidos en la secuencia
https://oeis.org/A143610

72, 108, 200, 392, 500, 675, 968, 1125, 1323, 1352, 1372, 2312, 2888, 3087, 3267, 4232, 4563, 5324, 6125, 6728, 7688, 7803, 8575, 8788, 9747, 10952, 11979, 13448...

Esta secuencia de OEIS no recogía en principio el carácter de número de Aquiles minimal, por lo que hemos propuesto su inclusión mediante este comentario:

Every a(n) is an Achilles number (A052486). They are minimal, meaning no proper divisor is an Achilles number. [Antonio Roldán, Dec 27 2011]

A la inversa ¿Qué múltiplos de un número de Aquiles también lo son? En principio, adivinarás que infinitos. Se pueden ir añadiendo potencias de primos de forma que sus exponentes sean primos entre sí en su conjunto.

Proponemos una demostración sencilla: Todo número de Aquiles posee un divisor (no necesariamente propio) que tiene el carácter de número de Aquiles minimal

Ya tenemos una jerarquía completa de divisores y múltiplos de números de Aquiles, que comienzan en los minimales y no están acotados.

Otro día, otra vuelta.