lunes, 30 de enero de 2012

No hay que dejarse llevar por la admiración

El otro día “retwiteé” esta igualdad. Me gustó, la enlacé y no le di más importancia.

(1+3)/(5+7) = (1+3+5)/(7+9+11)= (1+3+5+7)/(9+11+13+15)= ... = 1/3

Al día siguiente volví a verla y esta vez sí la analicé y me di cuenta de que era algo trivial:

Los numeradores son sumas de impares, y por tanto equivalen a n2. Los denominadores equivalen a duplicar el número de elementos de arriba y después restárselos, es decir (2n)2-n2 = 3n2. Simplificamos y nos da un tercio. Se acabó el misterio y la admiración. Tenía que dar 1/3 tomes los elementos que tomes.

¿Lo quieres más fácil? Estudia estas dos imágenes



En la primera figura el numerador 1+3+5+7+9 como un cuadrado en el que cada número impar viene representado por el mismo color (un gnomon), adosado a la suma 11+13+15+17+19, también formado por gnomones de distinto color hasta completar un cuadrado de 100.

En la segunda hemos separados los cuatro cuadrados, con lo que se percibe que 1+3+5+7+9 sólo ocupa un cuadrado y 11+13+15+17+19 tres, luego su cociente es 1/3

Un asombro parecido y creo que injustificado produjeron entre algunos amigos mis dos desarrollos sobre los años 2011 y 2012. En el primero la clave estuvo en que por aquellos días yo había estado experimentando con diferencias entre potencias de 2 y números primos.


Vi que 2011=2^11-37. Como recordé que 37=111/3, mi cerebro se llenó de unos, y me vino a la imaginación el desarrollo de la imagen.

Fue una feliz intersección de caminos. Este tipo de curiosidades surge por encuentros entre dos líneas matemáticas.

Con el 2012 me ocurrió algo similar. No me era posible buscar unos de la misma forma, pero al factorizar 2012 apareció el número 503, que por proximidad me hizo pensar en el 504, que a su vez recordaba al factorial de 7. De ahí vino la idea de que 9*8*7=504 y que había que seguir las cifras hasta el cero.


Otro caso de feliz intersección de dos caminos. No hay nada admirable en este desarrollo.

En una entrada anterior de este blog comentábamos la casualidad de que la expresión M=3*52n+1+23n+1 sea siempre múltiplo de 17, pero con algún truco afortunado no sólo se podía demostrar, sino que era fácil inventarse casos parecidos.

Así que antes de admirarnos debemos analizar las cosas.

¿Qué opinas de esta serie de igualdades?

(1+5)/(1+7)=(1+3+9+11)/(1+3+13+15)=(1+3+5+13+15+17)/(1+3+5+19+21+23)=…

¿Son verdaderas? ¿Se pueden prolongar indefinidamente?¿Cuál es su valor común?

Intenta responder usando técnicas algebraicas y gráficas.

No hay comentarios: