sábado, 29 de enero de 2011

Montones de piezas

Mi nieta juega con 9 piezas de construcción sobre un suelo embaldosado. Para ayudarle a organizar objetos le propongo que coloque las piezas en distintas baldosas:

- ¿En cuántas baldosas?


- En las que quieras


- ¿Cuántas piezas pongo en cada baldosa?


- Las que quieras.


La dejo con su tarea y me pongo a calcular. Me interesa saber de cuántas formas ha podido repartir las piezas en las baldosas. Cuando vuelvo me encuentro con esta situación
Ha utilizado cinco baldosas y ha repartido las piezas como 2+3+2+1+1. No me interesan las posiciones de las baldosas, ni el orden ni los colores; sólo el reparto 9=3+2+2+1+1 (ordeno de mayor a menor para indicar que no me importa el orden)

¿De cuántas formas distintas pudo mi nieta hacer ese reparto?

La solución es 30, pero la teoría en la que se basa necesitará que publiquemos alguna entrada más. En la semana pasada ha estado el tema de actualidad.

Puedes ir investigando mientras tanto.

sábado, 22 de enero de 2011

Redondez de un número

(Esta entrada constituye nuestra colaboración en el X Carnaval de Matemáticas, organizado por el blog Francis (th)E mule Science's News)


Paul Hoffman, en su libro “El hombre que sólo amaba los números” define los números redondos como aquellos que poseen más divisores primos (iguales o distintos) que los demás de su misma magnitud. Parece ser que esta acepción de la palabra “redondo” es original de Hoffman. Hardy dio otra muy parecida.

Esta definición, tal como está en el libro, es algo ambigua y prescindiremos de ella. Usaremos mejor la de “redondez”, que se limita a contar factores primos uno a uno. Es un concepto parecido al de “superabundancia”. En la práctica la redondez es la suma de los exponentes que aparecen en su descomposición factorial.

La redondez de 320 es 7, porque 320=26*5  y 6+1=7, o bien porque los divisores primos tomados de uno en uno son 2 2 2 2 2 2 5. Esta función también recibe el nombre de omega y biomega.  Aquí escribiremos R(320)=7

Es evidente que los primos tienen redondez 1, los semiprimos 2, y que todos pensamos en múltiplos de 12 que esperamos tengan bastante redondez. En efecto 480 tiene redondez 7 aunque sus vecinos próximos no pasan de 4.

Hemos diseñado para hoja de cálculo la función REDONDEZ cuyo código se incluye al final. Con ella hemos estudiado los mil primeros números, para ver cuál es su redondez media.  Se ha producido la siguiente tabla:


Redondez
Frecuencia
0
1
1
168
2
299
3
247
4
149
5
76
6
37
7
14
8
7
9
2
Total
1000


En ella aparece sólo una redondez 0 (correspondiente al número 1), 168 unitarias (los primos menores que 1000) y 299 de redondez 2, que es la de los semiprimos, que resulta la más abundante. La redondez media es de 2,88.

Hay dos números, el 512=29 y el 768=28*3 que tienen redondez máxima de 9. Después hay 7 con redondez igual a 8. ¿Qué números son?

Se puede estudiar la media de redondez según la última cifra de los números. Si estás pensando en que ganan los pares llevarás razón, por goleada, del orden del doble, pero si piensas en una de las cifras 2, 4 , 6, 8 y 0, igual te llevas una sorpresa. ¿Qué última cifra tiene una redondez media mayor?

Public function redondez(n)dim i,a,s


i=2:s=0:a=n
while i<=a
if esprimo(i) then
while esmultiplo(a,i)
a=a/i
s=s+1
wend
end if
i=i+1
wend
redondez=s
end function

¿Alguien sabe algo de esto? Respuesta de Jens Kruse Andersen

Jens Kruse Andersen, en la dirección

http://tech.groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/22407

confirma que 2^n-509203 es divisible entre uno de estos primos: {3, 5, 7, 13, 17, 241} y que por tanto la posible conjetura que planteábamos no es cierta.

Pero seguimos sin encontrarle pareja al 1871.

lunes, 17 de enero de 2011

Número par de divisores

Sabemos desde el bachillerato que si un número se descompone en factores primos de la forma

el número total de divisores de N viene dado por


Así, si 60 = 22*3*5, tendrá (2+1)(1+1)(1+1)=12 divisores. Son estos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

¿Cuándo el número D(N) será par?

Sí, lo que estás pensando: cuando algún ai sea impar, porque en ese caso (ai+1) será par, y su producto por todos los demás factores también lo será. Pero este hecho tiene una consecuencia inmediata: N no será cuadrado perfecto, ya que al menos uno de sus factores estará elevado a potencia impar.

Así que los números 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29… tienen en común el no ser cuadrados y el tener un número par de divisores.

Existe una fórmula para generar estos números (los representaremos como NC(n)), independientemente de su carácter de no cuadrados:

En ella los corchetes significan “parte entera”,  y al sumar ½ se convertirá en el redondeo de la raíz cuadrada.

Es sencillo implementar  esta función en las hojas de cálculo, pues la función REDONDEAR a cero decimales equivale al corchete. La siguiente tabla se ha conseguido con Excel y la fórmula N+REDONDEAR(RAIZ(N);0)

1    2    3    4    5    6    7      8      9      10    11    12    13    14   
2    3    5    6    7    8    10    11    12    13    14    15    17    18

Se puede observar que se engendran todos los números menos los cuadrados.  El salto sobre los cuadrados se produce entre los números de color azul y los de color rojo.

Esto nos da una idea para justificar la fórmula anterior.

Podemos observar que en la fila de abajo los resultados saltan de una en una unidad, salvo en los números de color, en los que saltan dos unidades. ¿A qué es debido esto?

Para comprenderlo sustituimos la tabla anterior por otra de raíces cuadradas:

1     2       3        4      5      6      7        8        9        10        11        12      13      14
1     1,41  1,73 2,00   2,24 2,45  2,65  2,83   3,00   3,16     3,32     3,46   3,61   3,74


Observamos que los saltos de 2 unidades se producen cuando la parte decimal de las raíces cuadradas pasan de ser menores de 0,5 a ser mayores o iguales. Por eso, al aplicar el redondeo de la fórmula


a dos valores consecutivos de n, se produce un salto de 1 al pasar de n a n+1, pero en los números coloreados aparece otra unidad al redondear el corchete.

En efecto, los saltos se producen entre los números del tipo n2+n (los de color azul) y los del tipo n2+n+1 (color rojo). La demostración de esto se basa en esta cadena de desigualdades:

Si p<n se tiene:


Y tomando raíces cuadradas se mantendrán las desigualdades (es función estrictamente creciente)



Esto nos demuestra que las raíces de la izquierda tienen una parte decimal menor que 0,5 y los de la derecha, mayor, lo que justifica que al redondear aparezca una unidad suplementaria entre n2+n y n2+n+1 y el salto sea de 2 en lugar de 1.

Vale, pero ¿por qué los tachados son los cuadrados perfectos y no otros?

Pues aquí se produce una concurrencia de hechos matemáticos (ya se sabe lo aficionados que somos en este blog a ellas). Por una parte sabemos que los cuadrados perfectos son suma de impares consecutivos: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16 y por otra hemos averiguado que en la fórmula que estamos justificando los cuadrados aparecen entre n2+n y n2+n+1. Bastará, pues, demostrar que los saltos se producen siguiendo la pauta de los números impares. En efecto, la diferencia entre dos valores consecutivos de n2+n es:


Pero como sabemos que en ese intervalo se produce un salto doble por el redondeo, la diferencia será en realidad 2(n+1)+1= 2n+3

Así, en el intervalo entre el 2=12+1 y 6=22+2 s producirá un incremento igual a 2*1+3=5, lo que justifica que el 4=22 se convierta en 9=32.

Como el tema es intuitivo, lo damos por bueno prescindiendo de pequeños ajustes.

¿No te ha interesado la concurrencia? Pues lo razonamos directamente:

Aplicamos la fórmula


tanto a n2+n como a n2+n+1, recordando que la parte decimal del primero no llega a 0,5 y la del segundo se pasa y en el redondeo este segundo producirá una unidad:


Luego el número saltado es n2+2n+1, que es cuadrado perfecto, por ser igual a (n+1)2.

domingo, 16 de enero de 2011

¿Alguien sabe algo de esto? Última noticia

Claudio nos ha encontrado esta noticia:


La conjetura es falsa
 
Para p = 509203,  p+q = 2^n => q es divisible si o si por:  3, 5, 7, 13, 17 o 241.

Tambien todos los primos de la secuencia http://oeis.org/A101306 son un contraejemplo

De hecho este problema es el problema de Riesel disfrazado.
 
Nada, a estudiarlo.

jueves, 13 de enero de 2011

¿Alguien sabe algo de esto? Noticias

Claudio Meller me avisa de la existencia de una conjetura similar a la que estamos proponiendo estos días, sólo que actúa sobre el número de orden de los números primos y sobre el exponente de 2. Por eso yo no conseguí encontrarla.

La podéis ver en http://oeis.org/search?q=a101462&language=english&go=Search 

Parece ser que para el primo 1871 no se ha conseguido encontrar otro primo que sumado con él forme una potencia de 2.

Lo he intentado con Wxmaxima y Wiris y se ha bloqueado el cálculo.

Os lo dejo como tarea. Id buscando instrumentos potentes.

miércoles, 12 de enero de 2011

¿Alguien sabe algo de esto? (2)

Dejamos abierta en la entrada anterior esta cuestión:

¿Existe este teorema (o al menos formulado como conjetura)?

Para todo número primo p existe al menos otro número primo q tal que la suma de ambos es igual a una potencia de 2.

Lo estudiaremos usando restos potenciales:

Dado un número primo p, la expresión 2n-p representará un compuesto si el resto potencial de 2n para cualquier posible divisor primo r coincida con el resto de p respecto a ese mismo divisor r.

Lo vemos con un ejemplo: Si p=7, que descubrimos en la entrada anterior que tenía un complementario muy grande (comple2(7)= 549755813881), podríamos recorrer los distintos números primos (no considerando obviamente el 2, por cuestión de paridad) para ver si coinciden los restos de las potencias de 2 con los de 7.

Si r=3, los restos potenciales del 2 respecto al 3 son alternativamente iguales a 2,1,2,1,… y el resto de 7 respecto a 3 es igual a 1, luego la expresión 2n-7 en sus valores positivos será divisible entre 3 de forma alternativa: 24-7=9=3.3, 26-7=57=19.3, 28-7=249=83.3,…

Como buscamos que la expresión 2n-7 sea un número primo, ya sabríamos que los valores n=2,4,6,8,…no nos valdrían.

Para r=5, los restos potenciales de 2 forman la secuencia 2,4,3,1,2,4,3,1,…y el resto de 7 respecto a 5 es 2. Por tanto para los valores de n=5,9,13,…la expresión 2n-7 también será compuesta.

Imaginemos que recorremos todos los posibles divisores primos de 2n-7, al igual que hemos hecho con 3 y 5 y cada vez que coincidan el resto potencial de 2 con el de 7, tachamos esa posibilidad. Es como una criba. Si al terminar el análisis quedan huecos, es que existe comple2(p) y si todos los posibles valores son compuestos, no será posible. Para terminar ese análisis deberemos llegar hasta la raíz cuadrada de 2n-7, lo cual puede ser penoso.

Hemos preparado una hoja de cálculo que para cada primo estudia las coincidencias entre restos y le asigna el valor “NO” a los compuestos.

En la siguiente tabla se recoge el principio del análisis para 37. Se comienza a analizar cuando el valor de 2n-7 es positivo.


n
37
1
2
2
4
11
3
18
14
8
6
0
37



3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
-35
1

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-33
2

1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
-29
3

2
3
1
8
8
8
8
8
8
8
8
8
-21
4

1
1
2
5
3
16
16
16
16
16
16
16
-5
5

2
2
4
10
6
15
13
9
3
1
32
32
27
6

1
4
1
9
12
13
7
18
6
2
27
23
91
7
NO
2
3
2
7
11
9
14
13
12
4
17
5
219
8
NO
1
1
4
3
9
1
9
3
24
8
34
10
475
9
NO
2
2
1
6
5
2
18
6
19
16
31
20
987
10
NO
1
4
2
1
10
4
17
12
9
1
25
40
2011
11
SI
2
3
4
2
7
8
15
1
18
2
13
39

Los números en rojo son los restos que coinciden con los de 37 (de color azul) respecto a los distintos primos (de color verde), y se ve que el 2011 es el primer valor en el que no se producen coincidencias, y por tanto comple2(37)=2011.

Como hay que probar primos hasta la raíz cuadrada de 2n-p, el análisis se puede hacer tan largo que no elimine las dudas. Así que seguimos igual, pero habiendo descubierto una posibilidad de ataque al problema:

Para todo número primo p ¿existe al menos otro número primo q tal que la suma de ambos es igual a una potencia de 2?

A ver si alguien nos puede ayudar.

lunes, 10 de enero de 2011

¿Alguien sabe algo de esto? (Extensión)

En la anterior entrada no dimos los exponentes de 2 más llamativos. Ahí van:

comple2(223)=2261-223
comple2(809)=2636-809
comple2(947)=2278-947


---------------------------------------

Nuestro colaborador Rafael Parra comenta lo siguiente:



Antonio, me da la sensación que estás ante una conjetura. Y digo esto porque planteas que "Para todo número primo p existe al menos otro número primo q tal que la suma de ambos es igual a una potencia de 2^n. La dificultad estriba en que hay que encontrar un número primo que sea suma de otro dado para que resulte 2^n.


Hay algunas conjeturas que se acercan a este planteamiento, como Schinzel-Tijdeman, Fermat-Catalán o la Conjetura ABC (ver propiedades del 2010) pero sus planteamientos son aproximativos.

Como no domino los programas, yo veo una ecuación de la forma p+q=2^n, con p,q (primos).

Utilizando Goldbach con la calculadora de red (http://wins.unice.fr/wins) he podido comprobar que hasta 2^120 no hay solución para el primo 223, que tú mismo dices !imposible!.
223=2^9-17^2
223=71+73+79
223=19+23+29+31+37+41+43
He calculado p+q=2^n con valores de n=2,3,4,...,14,15 y algunos de ellos tienen bastantes soluciones, por ejemplo:
2^6=3+61=5+59=11+53=17+47=23+41...
2^8=5+251=17+239=83+173=89+167...
2^13=859+7333...
2^14=653+15731
2^15=2239+30529...
Me hubiera gustado ser de más ayuda, pero yo me manejo más con las ecuaciones diofánticas.

-------------------------------

Rafael ha encontrado varias soluciones para algunos valores de n, lo que es normal, pues igual ocurre con la conjetura de Goldbach, y también se da que para un mismo número primo p existan varios q que formen con él una potencia de 2. Por eso sólo buscamos el menor.

En los ejemplos destacados hemos llegado a exponente 636, y seguimos con la duda ¿habrá un primo para el que ningún exponente valga? Mi impresión es que no, pero habría que demostrarlo.

Dentro de unos días volveremos sobre el tema.

domingo, 9 de enero de 2011

¿Alguien sabe algo de esto? (1)

Hace unas semanas, con motivo del año nuevo, llegué a la expresión 2011=211-37. Una vez publicada, se me ocurrió preguntarme qué otros números primos se pueden expresar igualmente como una potencia de 2 menos otro número primo.

Programé la hoja de cálculo para encontrar el menor número primo que sumado a otro dado produce una potencia de 2. Todo fue bien salvo en ciertos primos, como 7, 43, 101, 127, 151, 223,…Busqué e investigué qué podían tener de particular esos primos y no llegué a ninguna conclusión. Mejoré y simplifiqué el algoritmo y me di cuenta de que simplemente los resultados sobrepasaban los registros de la hoja.

Así que definí, para todo número primo p, la función comple2(p), como el menor número primo que sumado a p da como resultado una potencia de 2.

Por ejemplo: comple2(857)=167, ya que 857+167=1024=210.

Implementé esta función en Excel y OpenOffice.org con este código:

Public Function comple2(n)
Dim b, a
b = 2
a = b - n
While esprimo(a) = 0
b = b * 2
a = b - n
Wend
comple2 = a
End Function

 y así logré esta tabla

P
COMPLE2(P)
P
COMPLE2(P)
2
2
97
31
3
5
101
67108763
5
3
103
409
7
549755813881
107
149
11
5
109
19
13
3
113
911
17
47
127
140737488355201
19
13
131
16253
23
41
137
887
29
3
139
373
31
97
149
107
37
2011
151
2147483497
41
23
157
32611
43
536870869
163
349
47
17
167
89
53
11
173
83
59
5
179
3917
61
3
181
331
67
61
191
16193
71
953
193
2096959
73
439
197
59
79
433
199
313
83
173
211
33554221
89
167
223
¡Imposible!



Sólo existe un primo que resulta igual a su complementario: naturalmente el 2. La  relación no es simétrica, porque por ejemplo comple2(13)=3 y sin embargo comple2(3)=5

Al llegar al 223 fue imposible lograr su imagen. Los registros de datos no daban más de sí. Por ello, me decidí a usar un programa CAS. Como intento trabajar siempre con software gratuito, acudí a la calculadora Wiris, con el algoritmo que puedes estudiar en la imagen, y ahí se produjeron los resultados sorprendentes:



Comple2(223)=3705346855594118253554271520278013051304639509300498049262642688253220148477729

Comple2(809)=285152538601387201165073225356268207805826781703034995661199532368704697950542336656619550707335712486165144348349650456918044045085964874890791332482638386765749667147516559380179637015411927

Comple2(947)=485667223056432267729865476705879726660601709763034880312953102434726071301302123597

Como no me acababa de fiar, acudí al programa wxMaxima con un código similar, pero ajustando el valor inicial de la potencia para evitar valores negativos:

n:223$
b:256$
c:b-n$
for i:1 unless primep(c) do (
b:b*2,
c:b-n
)$
display(c);


 y confirmé los resultados anteriores.

Se ve que el cálculo de este complementario de un número primo se puede complicar muchísimo, pero, ¿dará lugar en algún caso a un bucle sin fin? ¿existirá algún número primo que nunca pueda ser completado a una potencia de 2?

También he buscado en OEIS  y la secuencia 2, 5, 3, 549755813881,5, 3, 47, 13, 41,… no está recogida, aunque la A096822 se le parece.


Ahí es donde pido ayuda, porque yo no lo sé. ¿Existe este teorema o al menos como conjetura?:

Para todo número primo p existe al menos otro número primo q tal que la suma de ambos es igual a una potencia de 2.

Se parece a la conjetura de Goldbach, pero se diferencia en que p se da previamente y en que no se busca un número par, sino una potencia de 2.

Si alguien sabe algo, con mucho gusto lo publicaré citando su procedencia.

Dentro de unos días analizaremos el problema desde el punto de vista de los restos potenciales.