viernes, 25 de noviembre de 2011

Pasito a pasito hacia la complejidad (Soluciones)

(Con esta entrada y la anterior participamos en el 2.8 Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por Ciencia Conjunta)


Soluciones a las cuestiones planteadas en la entrada anterior:

(a) Si N es primo y N+1 semiprimo, como N+1 es par, ha de ser múltiplo de 2, luego (N+1)/2 ha de ser primo para que se cumpla que N+1 sea semiprimo. Recíprocamente: si (N+1)/2 es primo, N+1 es semiprimo, pues N+1=2p con p primo.

(b) El directo es muy sencillo, pues sigma(N)=1+N por ser primo, luego sigma(N)/2 es primo. El recíproco hay que verlo con más cuidado: si sigma(N)/2 es primo, sigma(N)=2p con p primo. Pero la fórmula de sigma(N) se compone de varios factores del tipo 1+q+q2+q3+… con q factor primo de N. En este caso sólo puede haber un factor primo, ya que 1+q>2, luego el 2 se ha producido como factor de 1+q+q2+q3+…Para que 1+q+q2+q3+…=2p ha de reducirse a 1+q. En efecto, si la potencia mayor es impar, la suma de potencias 1+q+q2+…sería impar y no podría ser múltiplo de 2. Si la mayor es par, se puede descomponer en (1+q)+q(1+q)+q2(1+q)+…=(1+q)(1+q+q2+…) y ambos factores serían mayores que 2, lo que no es lo supuesto.

(c) Si N=4k+3 entonces N+1=4(k+1) con lo que no podría ser semiprimo.

(d) N es primo, luego no será múltiplo de 3. N+1 es del tipo 2p con p primo. Ese primo no puede ser 3, porque entonces N+1=6 y N=5 y hemos afirmado que es mayor. Si no es 3, no será tampoco múltiplo de 3, pues entonces N+1 no sería semiprimo. Por tanto, N+1 no es múltiplo de 3, Como los múltiplos de 3 aparecen de 3 en 3 números, N+2 sí tendrá que serlo.

(e) Si N es primo, su resto módulo 12 sólo puede ser 1, 5, 7 u 11. Por tanto los restos que producirá N+2 serán 2, 6, 8 o 0 y los de N+2 3, 7, 9 y 1. Hay que desechar estos:
11- Si el resto es 11, N+1 sería múltiplo de 12, y no podría ser semiprimo.
5- N+2 sería del tipo 12k+7, lo que impediría que fuera múltiplo de 3.
7- N+1 sería del tipo 12k+8=2*2*(3k+1) y no sería semiprimo
Luego sólo nos queda que el resto sea 1.

(f) Porque N+1 es múltiplo de 2, N+2 de 3, N+3 de 4, y así sucesivamente, luego N ha de tener resto 1 para 2, 3, 4, 5… y por tanto también para su MCM.