lunes, 21 de noviembre de 2011

Pasito a pasito hacia la complejidad

(Con esta entrada y la siguiente participamos en el 2.8 Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por Ciencia Conjunta)


Toma el número 807905281, que es primo. Súmale una unidad y lo habrás convertido en un semiprimo múltiplo de 2:

807905282 = 2*403952641

Una unidad más y ahora será un 3-casiprimo (tres factores primos) múltiplo de 3:

807905283 = 3*15733*17117

Pero sigue de uno en uno. Descubrirás que cada vez tendremos un factor primo más y que será múltiplo de 4, 5, 6, 7, … Observa:

807905284 = 2*2*1871*107951
807905285 = 5*11*43*211*1619
807905286 = 2*3*3*3*37*404357
807905287 = 7*7*7*7*29*41*283


Pero hasta aquí llegamos, pues con una unidad más se disminuye el número de primos. En efecto, 807905288 = 2*2*2*53*1905437

¿Es frecuente este avanzar de unidad en unidad a estructuras más complejas?
Pues sí y no. Muy frecuente no es, pero si nos conformamos con menos pasos, existen muchos ejemplos, ya publicados, y que puedes reproducir fácilmente con un par de funciones. Aprovecharemos estos ejemplos para que razonemos un poco. Las soluciones aparecerán en una próxima entrada.

Un paso

Es el caso más simple, el de N primo y N+1 semiprimo. Lo cumplen estos primos: 3, 5, 13, 37, 61, 73, 157, 193, 277, 313, 397, 421, 457, 541, 613, 661, 673, 733,… y está publicado en https://oeis.org/A005383

(a) Un razonamiento sencillo: Una condición equivalente para todos los primos N de la lista es que  (N+1)/2 sea también primo. ¿Descubres la causa?
(b) Otro más difícil: Estas condiciones también equivalen a que sigma(N)/2 sea un número primo. ¿Por qué?
(c) Salvo el 3, todos los demás son primos del tipo 4k+1. Piensa en resto que debería tener N+1 con módulo 4.

Dos pasos

Existen primos N en los que N+1 es semiprimo y N+2 tiene 3 factores primos. Son estos:
61, 73, 193, 277, 397, 421, 613, 661, 757, 1093, 1237, 1453, 1657, 2137, 2341, 2593,… https://oeis.org/A112998

Es evidente que forman un subconjunto de los anteriores, y esto nos va ocurrir en cada paso que demos.
Piensa un poco: (d) Si N>5 (y todos lo son) N+2 ha de ser múltiplo de 3

Y otro poco más: (e) Todos los primos de la sucesión presentan resto 1 al dividirlos entre 12: 61=5*12+1; 73=6*12+1,…Razónalo (lo tienes en inglés en A112998. Lo aclararemos en la próxima entrada)

Tres pasos

También los conocemos: 193, 421, 661, 1093, 1657, 2137, 2341, 2593, 6217, 7057, 8101, 9817, 12421, 12853,…https://oeis.org/A113000 Subconjunto de los anteriores y con las mismas propiedades.

En ellos N+1 es par, N+2 múltiplo de 3 y N+3 múltiplo de 4. Si has desarrollado las cuestiones anteriores, no te costará entenderlo.

Más pasos

Para seguir jugando a esto necesitas las funciones ESPRIMO y BIGOMEGA, que es la función que cuenta los factores primos con multiplicidad (Ver su código en http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/01/redondez-de-un-numero.html)

Para crear un código de búsqueda puedes tener en cuenta que para el caso de k pasos, el número primo inicial ha de tener resto 1 tomando como módulo el MCM de los números 1,2,3…k 
 (f) Si has entendido todo lo anterior sabrás la razón.

En Basic puedes intentar algo así:

Input k Escribimos el número de pasos
Input mcm Para dar más velocidad, escribimos ya calculado el MCM
Input n Final de búsqueda. Generalmente un número grande.

For i = 1 To n Step mcm Los saltos de mcm en mcm ahorran muchos pasos de cálculo
a = 0
If esprimo(i)  Then
  For p = 1 To k
  If bigomega(i + p) = p + 1 Then a = a + 1
La línea fundamental
  Next p
  If a = k Then Msgbox(i)
End If
Next i
End Sub


Por ejemplo, para k=4, bastante tiempo y paciencia, llegarías a esta sucesión:

15121, 35521, 52321, 117841, 235441, 313561, 398821, 516421, 520021, 531121, 570601, 623641,… http://oeis.org/A113008

Para comprobar tu código y ahorrar tiempo, aquí tienes el primer número primo de cada caso:
2, 3, 61, 193, 15121, 838561, 807905281, 19896463921, 3059220303001, 3931520917431241,… https://oeis.org/A072875

Y para ampliar y asombrarte con el trabajo de algunos, estudia esta página:

http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_425.htm

Las soluciones de las cuestiones (a) a (f) las tendrás en la próxima entrada de este blog

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