sábado, 30 de octubre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (2 de 5)

Fórmula de Gauss

Las propiedades vistas en la anterior entrada se resumen en un criterio que no vamos a desarrollar aquí, y es que sólo se pueden descomponer en cuadrados los números en los que los factores primos del tipo 4n+3 figuren en su descomposición con exponente par. Gauss fue más allá en esa sección 182, pues dio una fórmula para contar el número de formas diferentes en las que se descompone un número en suma de dos cuadrados con base no negativa:
donde ES significa “mínimo entero igual o superior” y los factores que le siguen se corresponden con los exponentes de los factores del tipo 4n+1 aumentados en una unidad. La fórmula, como advierte Gauss, sólo es válida si los factores del tipo 4n+3 forman un cuadrado perfecto.

Así, por ejemplo, el número 325=52*13 se deberá descomponer en
N=ES((2+1)(1+1)/2)=ES(3*2/2)=ES(3)=3

En efecto, 325=12 + 182 = 62 + 172 = 102 + 152 (tres formas distintas)

Y el número 6664 sólo de una forma, pues 6664 = 23*72*17 y aplicando la fórmula nos daría

N=ES(1+1)/2 = ES(1)=1, y su descomposición única es 6664=422+702

Actualmente se prefiere considerar todas las sumas de cuadrados posibles, incluyendo bases negativas y teniendo en cuenta el orden. Esto multiplica por 8 el número de soluciones cuando x es distinto de y y ambos son no nulos, y por 4 en caso contrario. Así, el 13 presentaría ocho soluciones:

13= 22+32  = (-2)2+32  = 22+(-3)2  = (-2)2+(-3)2 = 32 +22 =(-3)2 +22 = 32 +(-2)2 = (-3)2 +(-2)2

Y el 16, cuatro: 16 = 42+02 = (-4)2+02 =02 + 42 = 02 + (-4)2

Igualmente, 8 presentaría también 4: 8 = 42+42 = (-4)2+42 =42 + (-4)2 = (-4)2 + (-4)2

¿Por qué complicar así la cuestión? Lo veremos en la siguiente entrada.

martes, 26 de octubre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (1 de 5)

Todo comenzó con Fermat

Hay números que se pueden descomponer en suma de dos cuadrados, pero ¿de cuántas formas? Esta cuestión ha sido ya abordada en otros blogs de Matemáticas, pero aquí añadiremos técnicas y algoritmos de hoja de cálculo.

Para conseguir una respuesta a la pregunta formulada se necesitaron esfuerzos de varios matemáticos, pero todo comenzó con Fermat y su Teorema de Navidad (lo comunicó a Mersenne el 25 de Diciembre de 1640, pero no lo demostró), y que actualmente expresamos así:

Un número primo se puede descomponer en suma de dos cuadrados x2+y2 de números enteros si y sólo si es el número 2 o bien es congruente con 1 módulo 4 (es decir, si es de la forma 4n+1).

El teorema directo es difícil de demostrar, y lo ha sido a lo largo de siglos mediante diversas técnicas (descenso infinito, enteros gausianos y otros), siendo Euler el primero que lo logró. El inverso está a nuestro alcance. Inténtalo:

Un número primo congruente con 3 módulo 4 no puede descomponerse en suma de dos cuadrados de números enteros. 

Gauss, en la sección 182 de sus Disquisitiones arithmeticae destacó que esa descomposición es única, salvo orden y signo. Los dos números x e y han de ser primos entre sí ¿por qué?

De este hecho podemos obtener un criterio marginal: Si un número de la forma 4n+1 no se puede descomponer en dos cuadrados o bien lo puede de más de una forma, no es primo.

Esta propiedad de poder descomponerse en suma de dos cuadrados se mantiene si multiplicamos dos números primos de este tipo, y además se puede duplicar el número de posibles sumas. Así, si 13 = 22+32  y  5 = 22+12, al multiplicarlos obtenemos:

65 = 13*5 = 82+12  = 72+42 

Esta propiedad se desprende de la famosa identidad:

(a2+b2 )(c2+d2 )= (ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2

que nos viene a decir que este producto también es suma de dos cuadrados y además de dos formas distintas (si los sumandos son distintos):

65 = (2*2+3*1)2 +(2*1-3*2)2 = 72+42  (obsérvese que en el cálculo se ha obtenido -4 y no 4)

65 = (2*2-3*1)2 +(2*1+3*2)2 = 82+12 

Ocurre lo mismo si se multiplica el número primo por 2 (elemental ¿no?)

En la siguiente entrada veremos una fórmula de Gauss que resume lo expuesto.

miércoles, 20 de octubre de 2010

1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, (Segunda parte)

Esta entrada y la anterior constituyen nuestra aportación al VII Carnaval de Matematicas. En esta ocasión, Javier Oribe desde El Máquina de Turing, va a ejercer de anfitrión.


Doblado pitagórico

Si tomamos un segmento de longitud 31 cm. y lo doblamos por cierto punto en forma de ángulo recto, podemos completar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene medida entera. No es difícil averiguar por dónde se puede doblar: basta hacerlo con un segmento de medida 7, con lo que el otro trozo mediría 24 y la hipotenusa 25.

Existen otros números con la misma propiedad: 7, descompuesto en 3 y 4, 23, doblado por 8 y 15, y otros muchos.

Te proponemos una búsqueda elemental, mediante razonamiento, hoja de cálculo o navegación por la Red:

Además de 7, 23 o 31, ¿qué otros números tienen la propiedad de engendrar un triángulo rectángulo de medidas enteras con un simple “doblado”?

Te dejamos este código por si deseas practicar:

(Dado un valor n)


Sub buscar(n)
for i=7 to n

for j=3 to i/2
k=i-j

if escuadrado(k*k+j*j)=1 then
msgbox(i)
msgbox(j)
msgbox(k)
end if

next j
next i

end sub


Si lo resuelves te llevarás una sorpresa: las soluciones son las mismas de la entrada anterior (salvo el número 1)

7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ... y todos sus múltiplos.

Lo puedes ver en esta tabla:


7     3  4
14   6  8
17   5  12
21   9  12
23   8  15
28  12  16
31   7  24
34  10  24
35  15  20
41  20  21
42  18  24
46  16  30
47  12  35
49   9   40
49  21  28
51  15  36
56  24  32
62  14  48 ...

La razón estriba en que ambos problemas están relacionados con la ecuación 2x2-y2=k.

Ahí tienes otro reto por si deseas investigar (esta vez te estamos ayudando poco).

martes, 19 de octubre de 2010

1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 ... (Primera parte)

Esta entrada y la siguiente (la publicaremos en un par de días) forman nuestra aportación al VII Carnaval de Matematicas. En esta ocasión, Javier Oribe desde El Máquina de Turing, va a ejercer de anfitrión.
 
1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 ...

En una entrada del curso anterior estudiamos las ternas pitagóricas en las que la diferencia entre catetos era igual a 1. Nos podemos plantear también qué números, aparte del 1, pueden ser diferencia entre catetos en esas ternas.

(1) Afirmamos que todo número puede ser diferencia entre catetos en una terna pitagórica. ¿Cómo lo probarías en pocos segundos?

(2) Más difícil es demostrar que todo número es diferencia de catetos de infinitas formas distintas. Para ayudarte puedes demostrar previamente lo siguiente:

Si u y v engendran una terna pitagórica mediante las fórmulas 2uv, u2-v2 y u2+v2, los valores 2u+v y v engendran otra terna con la misma diferencia de catetos.

Si lo anterior es cierto, reiterando el procedimiento obtendremos infinitas ternas con la misma diferencia (salvo signo u orden). Si la primera es primitiva, todas las demás lo serán ¿Por qué?

Por ejemplo, de u=4, v=3, x=7, y=24, z=25, con diferencia entre catetos igual a 17, podemos engendrar u=11, v=4, x=88, y=105, z=137, con 105-88 = 17 y después u=26, v=11, x=572, y=555 z=797, y así tantas como queramos.

(3) Si sólo admitimos ternas primitivas, no todos los números pueden ser diferencia de catetos. Los únicos posibles son 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ...

Te proponemos una búsqueda de información para averiguar la razón. Sólo te indicaremos que esos números son los que sólo tienen divisores del tipo 8N+1 o 8N-1.

miércoles, 13 de octubre de 2010

Cuestiones muy preparadas

Es frecuente encontrar en las colecciones de problemas de Matemáticas cuestiones algo extrañas y originales, que parecen haber sido preparadas para una ocasión sin que importe su influencia en la teoría general de la materia que tratan.

Ese es el caso de la siguiente, tomada del libro “Matemáticas ocurrentes”, de Víctor Manuel Sánchez González y otros:

Comprobar que para todo número natural n, el número M=3*52n+1+23n+1 es múltiplo de 17.

Resulta extraño que una suma de potencias de distintas bases produzca siempre múltiplos de un número, pero así es. Su originalidad hace sospechar que haya sido preparado ajustando bases y coeficientes para conseguirlo.

El libro propone dos métodos para demostrar esta propiedad:
  • Se busca la potencia de un binomio uno de cuyos sumandos sea 17. Al desarrollar el binomio todos los términos son múltiplos de 17 menos uno, pero este forma otro múltiplo al sumarlo con el resto de la expresión.
  •  El socorrido método de la inducción completa.

Quedan invitados los lectores a intentar estas dos demostraciones.

También sería interesante inventar cuestiones similares. Si se logra la demostración mediante el primer método, su proceso nos da idea de cómo inventarnos otro ejemplo parecido.

Presentamos dos:

Comprobar que para todo número natural n, el número M=42n+1+32n+1 es múltiplo de 7.

Igualmente, el número M=9*72n+23n+5 es múltiplo de 41.

¿Podrías inventarte otras?

jueves, 7 de octubre de 2010

¿Cuántas palabras?

Idea para el aula

El otro día, después de jugar con mi nieta a inventar palabras, se me ocurrió una experiencia para el aula, y es la de organizar un proyecto de estimación del número de palabras que se pueden construir en nuestro idioma. ¿Cuántas pueden ser? ¿veinte millones? ¿sólo unos miles? ¿miles de millones? ¿trillones?... Quizás así, de improviso, no se te ocurra ninguna idea.

Parece ser que reuniendo todas las variantes locales, no llegaríamos a unos pocos cientos de miles de palabras usadas realmente (los diccionarios no suelen traer más de 90.000), pero aquí nos interesan las posibles palabras que podríamos inventar.

Objetivo del proyecto:

Estimar el número de palabras posibles que puede contener nuestro idioma.

Como el planteamiento es muy amplio, se deberían tener en cuenta estos detalles:
  • Se puede acotar la estimación a palabras de no más de cinco sílabas. Si no, nos toparíamos con molestos infinitos.
  • Es bueno que la estimación no se base sólo en  técnicas de conteo. También se deben repasar los conceptos de sílaba directa, inversa o mixta, los diptongos y los triptongos.
  • Lo normal es que en la puesta en común aparezcan grandes discrepancias en las estimaciones, lo que dará pie a discusión en grupo e incluso elección de la mejor estimación.

¿Qué podemos conseguir con esta experiencia?

  • Estudio de las sílabas y palabras como objetos de un conteo
  • Repaso de las técnicas de contar
  • Asimilación del concepto de estimación y de orden de magnitud.
  • Ejercitación en la puesta en común, muy necesaria en un tema que puede admitir variantes en resultados y métodos.
  • Experimentación de concurrencias entre dos materias muy distintas, como la Gramática y la Combinatoria.
  • Construcción de esquemas ordenados.

El proyecto podría tener estas fases:

Recuento de sílabas

La primera tarea podría consistir en contar el número posible de sílabas que comienzan con una letra determinada. No hay que ser muy exigentes en este primer paso, pero deberán considerar sílabas directas, mixtas e inversas en su caso. Por ejemplo, para la letra B se deberían considerar al menos estas: BA, BE, BI, BO, BU, BRA, BRE, BRI…BLA, BLE,…BAR, BER,..BAS, BES,…BAL,…BLAS, BLES,…BIA, BIAS, BUAI, BONS,…

No se trataría de realizar un estudio exhaustivo (imposible sin convenios previos), sino de aproximarnos al uso general de nuestro idioma. Es posible que se olviden sílabas como INS, TRANS, ABS,… pero no hay que darle importancia. Se trata de una estimación.

Se podrían contar mediante un producto cartesiano:


Este esquema nos una idea del número de sílabas que forma la B (sólo una aproximación)
1*8*5*12 = 40*12 = 480

Insistimos en que esta fase no ha de ser demasiado cuidadosa. Habrá letras que formen unas 480 sílabas y otras (como la A) que formen menos. Esto es lo bueno, que todo el planteamiento pueda ser discutido.

El mismo estudio que sugerimos sobre la B se podría repetir con las demás letras. Por simplificar, supongamos que el número medio de sílabas por letra fuera de 300 y que letras válidas en español contáramos 26. Ello nos daría una estimación de 7800 sílabas distintas.

Recuento de palabras

Seguimos con el producto cartesiano. El número de palabras entre una y cinco sílabas sería:

7800+78002+78003+78004+78005= 2,88754E+19

¿A que no esperabas que fueran tantas? Son trillones. Ahora te toca criticar esta estimación, pero reconocerás que no me van a faltar palabras para inventar con mi nieta.

Pasamos por alto que las sílabas inversas sólo aparecen en primer lugar. Se trata de dar una idea. Quizás a algún lector le apetezca realizar un estudio más fino.

Puesta en común


Este paso es imprescindible. Lo ideal sería efectuarlo con una PDI y libre discusión entre grupos. Puede durar una hora o más, pero no será tiempo perdido.

No se trata de estimar mejor o peor, sino de llegar a una idea sobre el orden de magnitud y, lo que es más importante, a un intercambio de métodos.

Publicación

También este paso es insoslayable. Repito algo que siempre comento: No has aprendido un concepto si no sabes comunicarlo a otros. Se podrá efectuar en formato de documento o presentación, como una memoria de la experiencia o usando la web o el blog del centro.

Como siempre en este blog, no sugerimos nivel educativo ni momento idóneo para organizar este proyecto. El profesor jubilado no quiere opinar sobre ello. Todo eso queda ya un poco lejano.

sábado, 2 de octubre de 2010

Cuadrados con dos trozos consecutivos

Acabo de leer en el blog NumberADay (http://maanumberaday.blogspot.com/) que el número 573 tiene la propiedad de que su cuadrado está representado en el sistema decimal con los dígitos de dos números consecutivos:

5732 = 328329

He puesto a trabajar a mi hoja de cálculo y me ha devuelto siete de esos números entre 1 y 50000.

¿Podrías encontrar alguno de ellos?

Siempre puedes acudir a la The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, pero el problema es cómo la consultas.

Suerte.