domingo, 27 de junio de 2010

Dándole vueltas (5)

Mantener un blog de números con cierta periodicidad supone un gran esfuerzo en la búsqueda de temas y su posterior desarrollo. Por eso, suelo usar “disparadores de ideas”: páginas web, libros o revistas que tratan un tema matemático y que en sus desarrollos se incluyen fórmulas o propiedades que me sugieren (¡ajá!) un desarrollo sobre ellas.

Una de las páginas que visito con frecuencia es la popular The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, de dirección http://www.research.att.com/~njas/sequences/

La otra tarde escribí en ella el número 30500 (eso recordaba yo, pero no fue así) y descubrí que era suma de los cuadrados de cuatro números primos consecutivos. Así que me interesé por el tema, y como hacía tiempo que no le daba vueltas a una cuestión, lo elegí con ese fin y así lo presento:

(1) La serie de números que son suma de cuadrados, salvo el primero, que contiene el cuadrado de 2, todos son pares, como era de esperar, pero ¿existe alguna terminación en 0, 2, 4, 6 u 8 que no puedan presentar nunca?  Intenta justificarlo. Es una cuestión bastante sencilla.

(2) Más sencilla todavía: Salvo el primero, todos son múltiplos de 4 (es sencilla pero no trivial, podían ser pares no múltiplos de 4)

(3) Cuando volví a la página de secuencias enteras y probé 30500 me di cuenta de que estaba recordando mal. Ese número no presenta la propiedad deseada. Después de varios intentos encontré que el valor probado había sido otro terminado también en 500, pero con unos pocos miles menos. ¿Qué número es y qué cuadrados de números primos consecutivos lo forman? (Hay otro más pequeño que también termina en 500)

(4) Si dispusiéramos de la función primprox(N) “próximo primo después de N” podríamos preparar un algoritmo que nos devolviera la serie de este tipo de números. Esta función PRIMPROX la tenéis publicada en el Anexo del libro “Números y hoja de cálculo I” de nuestra colección Hojamat.es

Bastaría iniciar cuatro variables a=2, b=3, c=5, d=7, los cuatro primeros primos, y después ir copiando una en otra de esta forma: a=b, b=c, c=d, d=primprox(d). Así se recorrerían todas las cuaternas de números primos consecutivos y bastaría elevarlos al cuadrado y sumar. Así se ha construido esta lista en hoja de cálculo:

Orden   Primer primo   Suma
1           2                       87
2           3                       204
3           5                       364
4           7                       628
5           11                     940
6           13                     1348
7           17                     2020
8           19                     2692
9           23                     3700
10         29                     4852

(5) Las consideraciones anteriores nos permiten construir un algoritmo que nos determine, dado un número múltiplo de 4 si es suma de cuadrados de primos consecutivos o no. ¿Qué pasos tendría?

(6) Si repitiéramos el estudio con sumas de tres cuadrados en lugar de cuatro, ningún resultado, salvo el que comienza con 52, termina en 5. ¿Por qué?
Si lo intentáramos con sumas de dos primos, ningún resultado termina en 6, y a partir del cuarto, tampoco en 4. ¿Cuál es la razón?

domingo, 20 de junio de 2010

Uno de olimpiadas

Hoy toca proponer un problema de olimpiadas matemáticas. No es difícil:


Probar que existen infinitos valores enteros de a que cumplen esta propiedad: La expresión n4+a siendo  n un número natural cualquiera nunca produce un número primo.

lunes, 14 de junio de 2010

¿Eres un poligonal?

(Esta entrada constituye la participación de este blog en el V Carnaval de Matemáticas)


Si reuniéramos en una sola lista los números triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc. ¿llenarían todo el conjunto de los números naturales?

Podemos llamar orden n del número poligonal al número de unidades incluidas en uno de sus lados, y tipo k, al número de lados. Evidentemente, si consideramos los poligonales de orden 1, cualquier número N se puede representar como un polígono de N lados, luego la respuesta es afirmativa.


El problema es más interesante si sólo estudiamos números poligonales de al menos orden 2.

Existen números que son triangulares, como el 10, pentagonales, como el 22, o incluso algunos, como el 28, que son triangulares y hexagonales simultáneamente, como puedes observar en la imagen:


¿Existirán números que sólo puedan considerarse como poligonales de grado uno y no admitan otras representaciones poligonales?

Dado un número cualquiera, como 2011 (el 2010 ya vimos que era poligonal de orden 21), sería interesante averiguar qué representaciones admite como número poligonal. Se puede abordar el problema desde varios puntos de vista. Veamos el más sencillo:

Generación mediante triangulares

Todo número poligonal de orden n y tipo k se puede generar mediante esta fórmula:


Pn,k = n + (k-2)Tn-1

siendo Tn-1 el número triangular de orden n-1.

No es difícil justificar esta fórmula La simple visión de la siguiente imagen te permite comprenderla. Las unidades azules representan a n, y las de los otros tres colores a los números triangulares que terminan de engendrar el pentagonal:



Así que para saber si un número es n-gonal bastará restarle el valor de n y después averiguar si la diferencia contiene a Tn-1 un número entero de veces.

En una hoja de cálculo se pueden organizar tres columnas: La primera con los números naturales n, la segunda con sus sumas acumuladas, que serían los números triangulares T, y en la tercera el cociente (N-n)/T. Si este cociente es entero, hemos descubierto que el número probado es n-gonal.

En la imagen tienes el proceso para descubrir que el número 28 es 28-gonal, hexagonal y triangular. como ya sabíamos.



También podemos comprobar que hay números, como el 2011, que sólo admiten formar un polígono de grado 1 y tipo 2011. Sin embargo, el 2016 admite seis representaciones, con tipos 2016, 673, 136, 24, 6 y 3.

Generación mediante fórmula

De la generación de números poligonales a partir de triangulares se puede deducir la popular fórmula

Pn,k=n(n(k-2)-(k-4))/2

Si la consideramos como ecuación de segundo grado en n, se puede exigir que su discriminante sea cuadrado perfecto, es decir:

D=(k-4)2+8Pn,k(k-2)=M2

Esto nos da otro procedimiento: Recorremos valores de k y observamos cuáles producen cuadrados perfectos y después si el valor de n es entero. En la imagen puedes observar cómo se organiza la búsqueda en hoja de cálculo

lunes, 7 de junio de 2010

Identidad del hexágono

Una de Combinatoria, a la que tenemos algo abandonada:

Demuestra la identidad del hexágono:


llamada así porque en el triángulo de Pascal los tres números combinatorios forman esa figura:



En la imagen 5*20*21 = 10*6*35 = 210