lunes, 31 de mayo de 2010

Cuadrados vecinos de triangulares (4)

La causa de que no hallamos obtenido todas las soluciones que buscábamos en la anterior entrada está en la agrupación de términos que efectuamos en la misma:

………
Igualmente, la ecuación x2-8y2=-7 la podemos escribir como




Si ahora multiplicamos ambas ecuaciones obtendremos:


  (1)
  
y agrupando términos




…….
En esta agrupación de la ecuación (1) habíamos multiplicado el primer factor por el tercero y el segundo por el cuarto para que nos diera la suma por diferencia igual a la diferencia de cuadrados, pero si llegamos a multiplicar primero por cuarto y segundo por tercero, habríamos llegado a
 
y de ahí obtendríamos las soluciones que faltan.

En el segundo caso coincidían las dos posibilidades y por eso no echamos a faltar ninguna solución.

Enseñanza: Hay que agotar todas las posibilidades y no alegrarnos demasiado con el éxito obtenido.

viernes, 28 de mayo de 2010

Cuadrados vecinos de triangulares (3)

Para encontrar triangulares y cuadrados consecutivos podemos intentar usar las técnicas algebraicas.
Acudimos a la fórmula de los números triangulares para plantear la igualdad pedida


en la que el doble signo de 1 se justifica porque el triangular puede ser mayor o menor que el cuadrado. Si desarrollamos y exigimos que el discriminante de la ecuación sea cuadrado perfecto, llegaremos a la ecuación de Pell x2-8y2=-7 en el primer caso y a la x2-8y2=9 en el segundo (intenta desarrollarlo así y te resultarán esas dos ecuaciones)

Podemos llegar a las mismas ecuaciones recordando que un número triangular multiplicado por 8 y añadiéndole una unidad se convierte en cuadrado perfecto. De esta forma llegamos a la ecuación de Pell de forma mucho más rápida.


Con el signo + del 1 llegamos a m2-8k2 = -7 y con el menos a m2-8k2 = 9

Así que el problema desemboca en la resolución de las ecuaciones x2-8y2=-7 ; x2-8y2=9

No todas las ecuaciones de Pell tienen solución. Estas dos sí las tienen, como se puede ver por tanteo: 52-8*22=-7 ; 92-8*32=9, que nos dan las primeras soluciones del problema:

Si x=5 y=4 obtenemos el número triangular 3 y el cuadrado 4 que son consecutivos

Si x=9 y=3 aparecerán el triangular 10 y el cuadrado 9, consecutivos, pero con el triangular mayor.

Estas soluciones coinciden con las primeras obtenidas con la hoja de cálculo.

Pero ¿y las demás soluciones?

Si la ecuación de Pell hubiera sido x2-8y2=1, una solución trivial sería X0=3, y0=1. Nos podemos aprovechar de esto de la siguiente forma:

La identidad 32-8*12 = 1 la podemos escribir como un producto en el anillo Q(R), siendo R la raíz cuadrada de 8:

Igualmente, la ecuación x2-8y2=-7 la podemos escribir como


Si ahora multiplicamos ambas ecuaciones obtendremos:


y agrupando términos


o bien

De esta forma hemos obtenido una fórmula de recurrencia para las siguientes soluciones:

xn =3xn-1+8yn-1     yn=xn-1+3yn-1

Esta fórmula valdría igualmente para el caso x2-8y2=9

Lo hemos desarrollado en una hoja de cálculo:

Para el primer caso:


Para el segundo:


Esta segunda tabla coincide con la obtenida con hoja de cálculo en la entrada anterior:

10            9
325          324
11026      11025
374545    374544

pero en el primer caso ¡sólo hemos obtenido la mitad!

Con la hoja salían más:

0              1
3              4
15            16
120          121
528          529
4095        4096
17955      17956
139128    139129
609960    609961


¿Cuál es la causa? 

Si no quieres esperar a otra entrada, piensa en alguna operación que hemos efectuado y que podía tener otra salida.

lunes, 24 de mayo de 2010

Cuadrados vecinos de triangulares (2)

Dejamos como propuesta en la entrada anterior el encontrar pares de números consecutivos tales que uno sea triangular y el otro cuadrado, mediante el método de formar una columna de triangulares en una hoja de cálculo, y junto a esa columna formar otra sumando o restando una unidad a los anteriores, y finalmente analizando que resulte un cuadrado perfecto.

Como este método lo hemos desarrollado varias veces en este blog lo dejamos así, como propuesta.

Si sabes escribir código de macros en Calc o en Excel, puedes usar estas dos funciones y una macro de búsqueda (son válidas para ambas hojas de cálculo)

Public Function escuadrado(n) As Boolean
If n = Int(Sqr(n)) ^ 2 Then escuadrado = True Else escuadrado = False
End Function

Public Function estriangular(n) As Boolean
If 8 * n + 1 = Int(Sqr(8 * n + 1)) ^ 2 Then estriangular = True Else estriangular = False
End Function

Sub busqueda()
For i = 1 To 1000000
If escuadrado(i) And estriangular(i + 1) Then MsgBox (i)
Next i
End Sub

Tal como está escrito el código, encontrará números cuadrados tales que al sumarles una unidad se convierten en triangulares. Una búsqueda del 1 a 1000000 obtendríamos los pares:

Cuadrado más uno igual a triangular:

10             9
325           324
11026       11025
374545     374544

Si sustituimos la expresión i+1 en el código por i-1, obtendremos:

Triangulares más uno igual a cuadrados

0             1
3             4
15           16
120         121
528         529
4095       4096
17955     17956
139128   139129
609960   609961


Como el 0 no es triangular, desechamos la primera solución.

Pero esto es fiarse demasiado de la máquina. Invitamos a los lectores a intentarlo sin ordenador. En la siguiente entrada intentaremos resolverlo.

viernes, 21 de mayo de 2010

Cuadrados vecinos de triangulares (1)

Sabemos que hay números que son triangulares y cuadrados a la vez: 1, 36, 1225, 41616,…, pero,

¿existirán pares de números consecutivos tales que uno sea triangular y el otro cuadrado?

Intenta descubrirlos sin esperar a la siguiente entrada 

Puedes construir unas columnas de triangulares en una hoja de cálculo y estudiar los que son consecutivos con ellos.

viernes, 14 de mayo de 2010

Examen sobre números

Hoy no me apetece pensar en números primos o triangulares. Después de las medidas de recorte aprobadas por el Gobierno de España, la actitud de la oposición y el derroche generalizado de CCAA y ayuntamientos, siento el impulso de hacerles unas preguntas sobre números a nuestros políticos. 

¿Quién debe responderlas? Si alguno llegara a leer este texto (probabilidad nula), lo sabría.

 (1) ¿Has calculado el dinero que nos ahorraríamos si prescindieras de tus asesores? Claro que entonces…¿qué hacer con los amigos?

(2) ¿Qué recorte va a sufrir el Ministerio de Defensa? En un país en paz, ¿cuántos aviones de guerra, destructores y carros blindados se deben comprar este año?

(3) Todos los políticos coincidís en que subir los impuestos a las clases pudientes supondría sólo un pequeño ahorro en millones de euros ¿Qué mínimo ahorro te empujaría a garantizar un reparto justo de las cargas impuestas?

(4) ¿Qué ahorro supondría retirarnos de la guerra de Afganistán?

(5) Sabemos que esto es lo que más te interesa: ¿Qué cantidad de votos crees que ganarás o perderás con  tu actitud ante la crisis económica?

(6) ¿Cuántas escuelas y hospitales se dejarán de construir por causa del recorte de las ayudas al desarrollo?

(7) ¡Qué miedo te dan los bancos y las grandes empresas! ¿Has calculado ya cuál debería ser su aportación justa en esta crisis de la que en parte han sido culpables y que tú no les vas a exigir?

(8) ¿Qué porcentaje de los impuestos crees que se puede dedicar a la publicidad partidista? Una ayudita: es un número redondo.

(9) Indica el porcentaje de merma que han sufrido tus ingresos desde que comenzó la crisis. No se admiten incrementos como respuesta.

(10) Por último, usa la autosuma de Excel, y calcula el importe de los informes inútiles que has encargado, los piscolabis diarios que se organizan en tu organismo oficial, las gruesas publicaciones que has financiado a las fundaciones de tu cuerda, las subvenciones a grupos culturales afines y el dinero que se ha ganado con tus recalificaciones de terrenos.

Responde con atención, aunque me temo que vas a suspender.


Actualización

Un amigo muy querido me envía su respuesta al examen. Creo que él sí aprobará:Otra Solución también es posible:

- Recuperar el Impuesto de Patrimonio para fortunas superiores a 1 millón de Euros: 2.200 millones Euros al año
- Gravar el IRPF a las rentas superiores a 8.000 Euros mensuales al 50% (43% actual): 2.900 millones Euros anuales
- Gravar las SICAV (Sociedades de Inversión de Grandes Fortunas) al 20% (1% actual): 2.000 millones Euros al año
- Subir el Impuesto de Sociedades a Grandes Empresas (capital superior a 1.000 millones) al 35%: 2.500 millones
- Retirada del Ejercito de Afganistán: 400 millones de Euros

Suma total: 10.000 millones de Euros

jueves, 13 de mayo de 2010

Un giro de 365 grados

Hoy he leído la siguiente frase en una popular revista de Psicología:

“Un accidente de tráfico le dio un giro de 365 grados a su vida”

Desde una cierta perplejidad matemática he estado reflexionando sobre su sentido y he llegado a algunas hipótesis, que paso a desarrollar con un cierto estilo jocoso, pero respetando profundamente la tragedia personal de la persona objeto del artículo.

¿Cómo se ha llegado a esta frase?

(a) Se deseaba expresar un giro superlativo

Pues vale, un giro de 365 equivale a uno de 5, por lo que podemos deducir que el accidente se saldó con algún rasguño o una pequeña escayola. Suerte tuvo, porque hubiera sido peor un giro con la mitad de grados.

Un proceso cíclico no nos vale para presentar grandes efectos. Cuando éramos niños competíamos con enormes cantidades: “Mi papá sabe mil palabras”, “Pues el mío, cinco mil”, “Y el mío, un millón”… Es evidente que un gran giro sólo puede consistir en media vuelta, salvo en patinaje artístico: “Mi papá ha girado millones de grados”.

(b) En realidad se estaba pensando en una media vuelta

Pues aparte de sugerir la medida correcta de 180º podríamos proponer al articulista alguna otra forma de expresión:

Matemática: Puestos a meter las Matemáticas en nuestra vida, podíamos haber optado por un giro de 3,14159... radianes. Queda lo suficiente oscuro (no lo entendería la mitad de la población) para hacer creer que el accidente fue producido por oscuras fuerzas, además de poderlo calificar de irracional.

En lenguaje llano: Se pueden usar otras expresiones más sencillas: “media vuelta” (escueto), “patas arriba” (exagerado), “un vuelco” (descriptivo), “una profunda crisis” (observador), etc., aparte del uso de símiles o metáforas:”como tortuga con el caparazón en el suelo

(c) Ha sido una confusión con los días del año

Es lo más probable, pero ¿en qué sentido?

Espacial: Estaríamos igual, pues al cabo 365 días (y algunas horas) llegamos al mismo sitio (más o menos). Basta mirar el cielo y descubrir las mismas estrellas de hace un año. El accidente no le alteró la vida en absoluto.

Temporal: Mejor no pensarlo. ¡Hay accidentes que te hacen cumplir un año de golpe! -“Te veo más mayor”-”Sí, es que tuve varios tropezones de 365 grados”

(d) Es que soy de Letras

Eso lo oigo frecuentemente. Vale. ¿Qué se nos diría si confundiéramos inflación con deflación? ¿O verbo con adjetivo? ¿O procesado con testigo? ¿O isobara con gradiente? Los grados de un giro forman parte de la cultural general, no de una especialización sólo exigible a profesionales.

Seguro que hay más explicaciones para la aparición de esta expresión, pero vamos a dejarlo ahí, no nos vayamos a meter en peligrosos giros del lenguaje.

lunes, 10 de mayo de 2010

Viaje de ida y vuelta a la Geometría

 (Esta entrada forma parte del IV Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Zurditorium)


Según leo en el libro “Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano” de Francisco M. Casalderrey, a Fibonacci le interesó mucho el estudio del triángulo de lados con medidas enteras 13, 14 y 15, porque la altura correspondiente al lado que mide 14 también tiene medida entera, 12, así como los dos segmentos que forma en la base, 5 y 9 respectivamente.
¿Existirán más triángulos con esa propiedad?

La respuesta es afirmativa. Existen muchos, y no es difícil encontrarlos. Uno de ellos, con la misma superficie que el anterior, está formado por los lados 17, 21 y 10.

¿Podrías encontrar alguno más con medidas inferiores a 50?

Más difícil es que esta propiedad la presenten dos alturas. Existen algunos triángulos en los que aparece por simetría, como el de la imagen. Los lados son 25, 25 y 30, las alturas 24, 24 y 20, y los segmentos en las bases 7, 15 y 18. Todos son enteros.

¿Existirán triángulos en los que dos alturas presenten segmentos de medida entera sin acudir a la simetría?

Pues también la respuesta es afirmativa. En la imagen tienes uno:


Los lados miden 70, 65 y 75 respectivamente, una altura de 56 divide al 75 en dos segmentos de medidas 33 y 42, y la otra altura, de 60, divide a 70 en 25 y 45.

El hecho de que este triángulo sea semejante al de Fibonacci y posea una propiedad más amplia nos demuestra que estas cuestiones no son geométricas, sino aritméticas. Todo depende de si una medida se expresa como entera o como fraccionaria. Una altura que en el primero medía 11,2. en este mide 5 veces más, lo que la convierte en entera: 56.

Con lo explicado en el párrafo anterior puedes encontrar triángulos en los que todos los lados, alturas, segmentos formados por estas en las bases, perímetro y área tengan medida entera.


Para conseguirlo puedes seguir estos pasos:

(1) Elige dos ternas pitagóricas, preferentemente primitivas, como 20, 21, 29 y 8, 15, 17.

(2) Multiplícalas ambas por un valor entero adecuado a fin de unificar las medidas de sus dos catetos mayores (el que sean los mayores no es necesario, pero te garantiza que el triángulo sea acutángulo) Puedes buscar el MCM de ambos valores. En nuestro ejemplo se convertirían en 56,105,119 y 100,105,145

(3) Arma un primer triángulo tomando como altura el cateto común:

Con esto te garantizas que el seno y el coseno de los ángulos opuestos a la altura 105 sean números racionales, y como consecuencia que también lo sean los del tercer ángulo ¿Por qué?

También tienes garantizada una medida racional para las alturas y segmentos que quedan, pero no necesariamente enteros.

(4) En efecto, usando la fórmula (a2+b2-c2)/(2a) para todos los pares de lados nos resultarán las medidas de los segmentos, necesariamente racionales. Puedes verlo en un desarrollo con Wiris:


A la vista del desarrollo encontrarás los factores por los que hay que multiplicar (para conseguir una semejanza de triángulos) a fin de que todas las medidas sean enteras. En este caso por 29 y 17.

Con esto llegamos a la meta:


Sólo nos queda calcular las alturas y tendremos el triángulo completo:


Puedes analizar también el área, el perímetro y el radio de la circunferencia inscrita. Sus valores son: A= 1990571310, P=207060 y R=19227

En definitiva, de la Geometría sólo hemos usado fórmulas, por lo que el resultado constituye un regreso a la Aritmética de números enteros y racionales, que es su verdadero sitio, aunque lo hayamos representado como un triángulo. Quizás por eso le gustaba a Fibonacci.

martes, 4 de mayo de 2010

Cantares y coplas

Hoy no trataremos de números ni de hojas de cálculo, y espero que los visitantes habituales de este blog me disculpen por ello. Hoy, a los veintidós años de la muerte de mi padre, deseo escribir sobre él y su última obra poética.

Fue un hombre bueno, sensible, amante de su familia y su tierra y poeta popular de vocación tardía. No figurará en las antologías de su época, aunque publicó dos libros que sólo se difundieron entre la gente de su pueblo, pero su obra transmite maravillosamente la filosofía andaluza y el paisaje y tradiciones de su mundo cercano.

Las nuevas posibilidades de edición nos han permitido publicar su última obra “Cantares y Coplas”, colección de letras de copla flamenca y canción popular, en la que se destiló toda su sensibilidad y sabiduría. A su esposa y familia lo único que nos ha motivado para darla a conocer ha sido el mantener vivo su recuerdo.

A él le debo el acceso a la magia de las palabras y los números, a la paz de los campos y al amor a lo sencillo. No le tocaron buenos tiempos para vivir, pero supo crear a su alrededor un paisaje lleno de aventuras y sorpresas para los niños, una gran pasión por el conocimiento y la creación de un mundo propio al que se podía entrar con un simple guiño cómplice. Nunca podré olvidarlo.


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