jueves, 29 de abril de 2010

Otra búsqueda con puntería

Sólo existe un número primo de cuatro cifras que cumple que si sumamos el número primo anterior a él con el posterior al mismo, la suma es divisible por 7, por 11 y por 13.

Si exigimos que también sea divisible entre 3, hay que irse a cinco cifras, y ahí se encuentran varias soluciones, entre ellas dos que también producen un múltiplo de 5.

A ver qué encuentras.

domingo, 25 de abril de 2010

Afinamos la búsqueda

Sólo existen dos números de cinco cifras que cumplen

  • Son capicúas
  • Son primos
  • La suma de sus dígitos coincide con la suma de los dígitos de sus cuadrados. Esa suma es la misma en ambas soluciones.

¡A por ellos!

lunes, 19 de abril de 2010

Proporción entre cubo y cuadrado

Una entrada reciente del blog Números  y otra más antigua de este mismo blog me han sugerido una cuestión:

Dados dos números primos distintos p y q, ¿es posible siempre encontrar un cubo perfecto y un cuadrado perfecto que cumplan
con k y m números naturales siendo p y q primos distintos?

La respuesta es afirmativa, y además, con infinitas soluciones ¿por qué?

Por ejemplo, para p=2 y q=5 las primeras soluciones son k1=10, m1=20, k2=40, m2=400, k3=90, m3=1350…

lunes, 12 de abril de 2010

Factorización de Fermat a paso de tortuga

(Esta entrada constituye la participación de este blog en el Tercer Carnaval de Matemáticas)

La factorización de Fermat siempre se ha presentado como una técnica para representar un número impar como producto de dos de sus factores sin usar la lista de números primos. No es el único algoritmo de factorización con esa propiedad. Si extraemos progresivamente el factor más pequeño (mayor que 1) de N aseguraremos que hemos encontrado un número primo sin tener que memorizar la lista de primos (busca la herramienta factores en la dirección http:/www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm y estudia su funcionamiento).

En efecto, la factorización de Fermat no se basa en los factores primos, sino en representar un número impar N como una diferencia de dos cuadrados y después expresar la misma como el producto de una suma por una diferencia, con lo que se logra la factorización:

N=y2- x2=(x+y)(y-x)

En el caso impar esta operación siempre es posible, porque N=(N+1)2/4-(N-1)2/4, que da lugar a la factorización N=N.1

Desde el punto de vista algorítmico, la búsqueda de los valores de x e y adecuados presenta también otra originalidad, y es que se puede organizar de forma bastante eficiente sólo con sumas y comparaciones. En realidad, todos los algoritmos se pueden organizar así, y en caso último mediante la máquina de Turing, pero tampoco hay que llegar tan lejos. En la búsqueda de la factorización de Fermat se logran resultados bastante aceptables. Es una tortuga, pero algo veloz.

La creación del algoritmo se basa en estos hechos que te pedimos intentes justificar:

(1) El valor de y, y por tanto el de x, están acotados, y su cota no está excesivamente alejada de n ¿Cuál es y cómo se demuestra?

(2) Para demostrar que un número es cuadrado perfecto, no es necesario dividir ni extraer la raíz cuadrada ¿Cómo se hace?

(3) En realidad, la factorización de Fermat consiste en darle al número impar la figura de escuadra simétrica (gnomon) de varias formas posibles. Observando la imagen puedes resolver las dos primeras cuestiones.



(4) Podemos encontrar la raíz cuadrada entera de un número haciendo crecer de forma simultánea dos sucesiones, una linealmente y otra de forma cuadrática. Esto parece obvio, pero ¿cómo se organiza?

Podemos representar el algoritmo como una carrera, liebre y tortuga, entre a=x2 y b=y2, en la que la tortuga sale con ventaja porque se suma al número N, ya que ha de ser  y2=x2+N. Todo esto suena a metáfora, pero funciona.

Daremos a continuación un desarrollo en el que se ocultarán algunos detalles para hacer pensar un poco a quien lo siga.

Obtención de un primer valor de a=y2

Tomamos tres variables, y, a, i
Las iniciamos a y=1; a=1; i=1
Mientras a no sobrepase a N hacemos crecer estas variables así: y=y+1; i=i+2; a=a+i
con lo que lograremos el primer cuadrado que es mayor o igual que N
Sólo hemos usado sumas y una comparación. Razona por qué se da este resultado.

Obtención de valores adecuados de a=y2 y de b=x2

Una vez obtenido y2 iniciamos el crecimiento de la misma forma para x2
x=1; b=1; j=1
Mientras N+b no sobrepase a y2, hacemos crecer las variables:
x=x+1; j=j+2; b=b+j
para formar el cuadrado x2

Si ocurre que N+b=a hemos conseguido una factorización, pues N=y2-x2

Obtenemos todas las coincidencias

Ya sólo queda hacer crecer  a b de la misma forma y comprobar si se da la igualdad N+b=a en más ocasiones, y así hasta la cota.

No hemos querido usar el lenguaje algorítmico, y se han ocultado algunos detalles, como qué hacer si N es un cuadrado perfecto. Lo importante de lo explicado es que sólo hemos sumado y comparado. No se ha recurrido a multiplicar, dividir o extraer la raíz cuadrada.

Puedes estudiar más a fondo el algoritmo en las hojas de cálculo factorfermat.ods y factorfermat.xls, contenidas en el archivo http:/www.hojamat.es/blog/factorfermat.zip

Si recorres el código de la macro usada, sólo verás operaciones de sumar. El proceso no es un prodigio de velocidad, pero esto es un divertimiento. La idea de hoy no era correr, sino demostrar una posibilidad. Tampoco corrió Fermat y hay que ver lo que logró.

viernes, 9 de abril de 2010

También sin calculadora

Nos hemos aficionado a prescindir de la calculadora en este blog. Aquí tenéis una propuesta nada difícil, pero que se puede usar para ordenar bien nuestros cálculos y razonamientos. No son necesarios grandes desarrollos.

Imaginemos todos los números de tres cifras entre las que no figura el 0, como por ejemplo 163. Diremos que uno de ellos es centralmente accesible con su simétrico si se pueden convertir uno en el otro sumando reiteradamente (o restando) la cifra central. Por ejemplo, 163 es accesible con su simétrico 361, porque 163+6+6+6….(33 veces)… = 361.

Al número de veces que hay que sumar la cifra central para lograr la conversión la llamaremos distancia central. En el ejemplo anterior es 33. En los capicúas es evidente que será 0. Para el par 129 y 921, la distancia es nada menos que 396, porque 129+2*396=921. Otros números ni siquiera poseen distancia, porque no son accesibles, como 245 y 542

Os proponemos algunas cuestiones realmente fáciles:

(1) ¿Qué condición han de cumplir dos números simétricos de tres cifras para que sean accesibles entre sí? (Parece ser que hay 189 parejas de ese tipo)

(2) Excluyendo el valor trivial de 0, ¿cuáles son la distancia central mínima y la máxima para este caso de tres cifras?

(3) Demuestra que si una distancia obtenida resulta ser de tres cifras no nulas, siempre es accesible con su simétrico. Ocurre así con 833-338=495=3*165, luego su distancia es 165, que a su  vez es accesible con 561, ya que 561-165=66*6, lo que da distancia 66.

(4) En esta sí es conveniente usar una hoja de cálculo. Sólo hay un número de tres cifras no nulas en progresión aritmética cuya distancia central con su simétrico posee también cifras en progresión, aunque no en el mismo orden.

domingo, 4 de abril de 2010

¡Calculadoras fuera!

Idea para el aula

Hoy rompemos la línea de este blog con una propuesta en la que se desaconseja el uso de la calculadora o de cualquier hoja de cálculo. Consiste en lo siguiente:

Se presenta un número de cinco o seis cifras, como el 149152, del que sabemos que es producto de dos números de tres cifras simétricos entre sí, es decir, que abc*cba = 149152, siendo abc y cba sus expresiones decimales respectivas.

(a) Una vez presentado se pide organizar una búsqueda ordenada de las tres cifras a, b y c tomando nota por escrito de los pasos que se han intentado. Es bueno organizarla por grupos para fomentar la discusión.

(b) Después de varios intentos, se invita a generalizar o formalizar lo conseguido, todo dentro del nivel matemático del grupo.

Puede ser útil disponer de un dibujo de cómo sería la operación de multiplicar esos dos números:

Los cuadrados son cifras y los círculos posibles arrastres. Se puede ampliar para que se pueda usar como plantilla y escribir en ellos las pruebas.

Todo el razonamiento se basará fundamentalmente en las casillas coloreadas en gris.

En el ejemplo dado 149152 se podría producir este esquema de búsqueda:

Terminación 2: a=1;b=2, a=3;b=4, a=2;b=6, a=4;b=8, a=6;b=7, a=8;b=9

La cifra de orden mayor del producto es 1, y es un arrastre, porque hay seis cifras, luego esto elimina a=1;b=2, a=4;b=8, a=6;b=7, a=8;b=9

La decena 5 proviene de 7b+1 o de 8b+1, y esto hace que abc= 324, 236

Completamos el producto y vemos que la solución es 236: 236*632=149152

Hemos oscurecido la explicación a propósito, para dejar margen a variantes y para no dar todo elaborado.

Para quienes deseen practicar, ofrecemos algunas propuestas más:

34222   194242  675783  548208  726363
95254   85405    274428  679354  407515
26962   136888  165628  137052  117807