viernes, 29 de enero de 2010

Continuación de la colección de libros Hojamat

Después de iniciar la colección Hojamat con el manual “OpenOffice.org Calc a tu alcance” , continuamos, tal como se había anunciado, con la publicación de un libro resumen de todas las entradas de este blog en el curso 2008-09.

Números y hoja de cálculo I



Se puede descargar gratuitamente desde la dirección

http://www.lulu.com/content/libro-tapa-blanda/n%C3%BAmeros-y-hoja-de-c%C3%A1lculo-i/7980929

así como adquirirlo en formato de tapa blanda a un precio prácticamente de coste.

Con la publicación de este libro deseamos ofrecer una lectura reposada de los temas tratados, que han sido completados con notas, soluciones y códigos en Basic.

jueves, 28 de enero de 2010

Compartir o no compartir (2)

(Continuación de la entrada anterior)

Propuesta de investigación en el aula

Fase 2

Simulación

Con una hoja de cálculo se pueden simular dos columnas de números aleatorios. La fórmula, como puede ser complicada, se debe sugerir. Recomendamos usar

=ENTERO(1+ALEATORIO()*COTA)

siendo COTA la que deseemos marcar para los números del experimento, porque funciona bien en Excel y Calc y no da problemas al recalcular.

En una nueva columna escribimos su M.C.D y contaremos, con CONTAR.SI, la cantidad de valores 1 que aparezcan. Dividimos después por el número de filas usadas y tendremos una aproximación a la probabilidad.

Esta tabla contiene el final de una simulación de números con cota 2000 en una simulación de 2000 filas:


El total de pares se ha calculado con la función CONTAR, el de coprimos con CONTAR.SI aplicado al valor 1, y la frecuencia mediante división.

Si deseas una simulación más potente mediante macros, puedes usar este código:

Sub compartir
Dim i,n,cota,m
dim a,b

randomize

cota=val(inputbox("Cota"))

n=val(inputbox("Número de repeticiones"))
m=0

for i=1 to n
a=int(rnd()*cota+1)

b=int(rnd()*cota+1)

if mcd(a,b)=1 then m=m+1

next i
msgbox(m)

end Sub


Con esta macro podemos preparar tablas en las que se observe su acercamiento al límite teórico. La siguiente está construida con 10000 simulaciones para cada nivel:


Se observa la gran estabilidad de este cálculo, ya que a veces los errores propios de la simulación esconden la convergencia al límite.

Límite similar

Presenta el mismo límite 0,60792710...la frecuencia con la que aparecen los números libres de cuadrados dentro del conjunto de números enteros. Se llaman así a aquellos que no son divisibles entre ningún cuadrado, como 21 o 30. Es un poco complicado buscar esos números de forma manual, por lo que podemos usar una función nueva en la hoja de cálculo, cuyo código puede ser:

Public function librecuad(a)
dim m,n,p
dim divi as boolean
if a<4 then librecuad="1" else divi=false:n=2:p=1
while divi=false and n<=int(sqr(a)) if a/n/n = int(a/n/n) then divi=true:p=0 n=n+1
wend
librecuad=p
end if
end function

Es una función que nos devuelve un 1 si el número está libre de cuadrados, y 0 si contiene alguno. Se pueden crear columnas paralelas como las de la imagen y después usar la función CONTAR para calcular la frecuencia


Si diseñamos dobles columnas para números de mil en mil, nos sorprenderemos de la estabilidad de las frecuencias y su cercanía al límite



lunes, 25 de enero de 2010

Compartir o no compartir (1)

Propuesta de investigación en el aula

Uno de los teoremas más elegantes de la Teoría de la Divisibilidad afirma que la probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales, estos resulten primos entre sí, es decir, que no compartan divisores primos, es igual acuya expresión decimal aproximada es 0,6079271

Es evidente que la comprensión y demostración de este teorema sobrepasa las capacidades del alumnado de Enseñanza Media, pero se puede intentar una aproximación intuitiva al mismo. Podríamos plantearnos distintas fases de una experimentación.

Fase 1

Experimentación y cálculo

Experimentación con frecuencias y con números acotados

El teorema que presentamos contiene infinitos en su enunciado. Por una parte, la variable aleatoria usada abarca todos los números naturales. Por otra, no existe máximo en la muestra que podamos estudiar. Por eso, en el aula nos podemos restringir a números acotados (por ejemplo, los menores que 100) y a muestras pequeñas, o bien toda la población de los mismos, que en este caso equivaldría a 10000 pares de números. Al alumnado entonces hay que advertirle que estudiaremos frecuencias, no probabilidades.

Experimentación

Se pueden usar bolas del bingo (por ejemplo, cien) con reposición, e ir planteando para cada par si tienen divisores comunes o no. Se puede organizar por grupos o con toda el aula. Cada alumno o alumna copiará en su cuaderno los pares y si son primos o no, para obtener frecuencias.

Con ello obtendremos, resultados parecidos al siguiente:

Comparten divisores 79
Son primos entre sí 121
Total 200
Frecuencia relativa 0,6050

Si repetimos el experimento varias veces o acumulamos resultados de varios grupos, nos acercaremos al verdadero valor de la probabilidad para números menores que 100, cuyo valor exacto es 6087/10000 = 0,6087

Cálculo

¿Cómo podemos encontrar esa probabilidad exacta con una hoja de cálculo? Si no deseamos acudir a macros, podemos construir una tabla de doble entrada, por ejemplo de 100 por 100, y calcular la función de Excel y Calc =M.C.D(a,b) para cada par. En la imagen puede ver un fragmento de esa tabla:



Sobre esta ella aplicamos la función =CONTAR.SI(Rango de los mcd;1), para contar los valores 1, y nos resultarán 6087 sobre 10000.

Ampliación

Después, como ampliación, se pueden encargar experimentos con cotas más altas, como 200, o cálculos de la probabilidad exacta para números pequeños, como del 2 al 20.

Siempre obtendremos frecuencias o probabilidades cercanas al 0,6, con lo que el alumnado conjeturará que el verdadero valor es el 60%, por lo que en una segunda fase habrá que sacarle del error:”Esto no es tan simple”.

Un punto delicado es el de saltar a la idea de infinito, pero en estos niveles siempre haremos lo que podamos, sin forzar.

(Continuará)

jueves, 21 de enero de 2010

Sumas de los primeros cuadrados o triangulares

Estudiando un tema determinado me he encontrado con esta relación que no conocía:

12+22+32+42+52+…+232+242 = 702

No sé si estará publicada ya en lgún blog, pero la presento aquí por su elegancia y por mi sospecha de que no existen casos similares, salvo el trivial 1. He buscado mediante dos métodos y no he encontrado otro cuadrado que sea suma de los K primeros cuadrados.

Si alguien conoce algo más del tema le rogaría nos lo comunicara.

¿Ocurrirá algo parecido con los números triangulares?:

1+3+6+10+15…+N(N+1)/2 = K(K+1)/2

La respuesta es afirmativa

He descubierto cuatro casos entre 1 y 100000, sin contar el trivial 1=1, en los que la suma de los primeros triangulares produce otro triangular.

El primero es 1+3+6 = 10

¿Cuáles son los otros tres?

Ya puestos a calcular, me he planteado si sumando los primeros números triangulares podremos obtener un cuadrado, o, a la inversa, si sumando los primeros cuadrados la suma será un número triangular. En ambos casos existen soluciones. ¿Sabrías buscarlas?

lunes, 18 de enero de 2010

Invitación a investigar

El otro día vi en Wikipedia esta curiosa igualdad:

148349 = !1 + !4 + !8 + !3 + !4 + !9

en la que el símbolo !n se interpreta como subfactorial.

Invito a los seguidores de este blog a investigar qué es un subfactorial, de qué problema surge y cómo se calcula.

Con toda esa información podrán comprobar la igualdad propuesta con hoja de cálculo o instrumento similar:

viernes, 15 de enero de 2010

Glorioso remate de la bienvenida al 2010

¿Sabías que el 2010 se relaciona con el famoso 153 mediante una cadena de cifras al cubo?

¿Conocías el desarrollo de 2010 en una suma de números primos con el máximo número de sumandos?

Estas y otras muy interesantes, además de muchas referencias a propiedades y conjeturas las puedes encontrar en el documento elaborado por nuestro colaborador Rafael Parra Machío.

Lo puedes descargar desde

http://www.hojamat.es/parra/p2010.pdf

Es muy recomendable su lectura. Te entrarán deseos de profundizar en algunos temas que propone.

jueves, 14 de enero de 2010

Primo divisor de repuno - Reflexión

No debemos conceder demasiada importancia al descubrimiento de la entrada anterior:

Todo número natural es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000…

En realidad es una aplicación sencilla del Principio del Palomar:

Si repartimos m objetos en n conjuntos, y m>n, entonces, al menos un conjunto deberá contener 2 objetos o más.

Así, podríamos inventar múltiples propiedades parecidas:

Entre los veinte primeros números de la sucesión de Fibonacci existirán al menos dos cuya diferencia sea múltiplo de 17. En efecto, 144-8 = 136 = 17*8

Toda progresión aritmética de más de 10 términos contiene al menos dos elementos que terminan en la misma cifra. Por ejemplo 7, 20, 33. 46, 59, 72, 85, 98, 111, 124, 137, 150, 163, 176,…(Se puede prescindir en este caso del Principio del Palomar ¿Cómo?)

(Propuesta por Paul Erdös) Si tomamos n+1 números naturales cualesquiera, todos ellos menores que 2n, entre ellos habrá al menos dos que sean primos entre sí.

miércoles, 13 de enero de 2010

Carnaval de Matemáticas


Por iniciativa del blog Tito Eliatron Dixit, se va a organizar el primer Carnaval de Matemáticas en habla hispana.

Durante la semana del del 8 al 12 de Febrero todos aquellos que queráis participar, deberéis publicar en vuestros blogs una entrada sobre matemáticas en cualquiera de sus aspectos: divulgación, curiosidades, investigación, citas, imágenes,... cualquier cosa es buena, siempre que esté relacionada a dar a conocer las Matemáticas.

El Lunes día 15 de Febrero, en Tito Eliatron Dixit, aparecerá un resumen con todas las entradas que se hayan publicado durante la semana anterior. Si queréis aparecer en la lista, podéis enviar un e-mail a eliatron@gmail.com indicando que queréis participar.

Tenéis más detalles en el citado blog Tito Eliatron Dixit

Por parte de este blog se participará en dicho Carnaval y animamos a los lectores a que se unan a esta interesante experiencia.

martes, 12 de enero de 2010

Primo divisor de repuno - Razonamientos

Es más sencillo demostrar antes la segunda propiedad:

Todo número natural es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000…

Sea el número natural N. Basta considerar el conjunto de N+1 repunits 1, 11, 111, 1111, …..111…(N+1)..11. Si los dividimos todos entre N, como sólo existen N restos posibles habrá dos repunits que produzcan el mismo resto. en la división. Basta restarlos, con lo que obtendremos un múltiplo N, que tendrá la forma pedida: 1111…000…

A partir de ella podemos demostrar la primera:

Todo número natural primo distinto de 2 y 5 es siempre divisor de un repunit 11111….1

Según la propiedad anterior, el número primo N tendrá un múltiplo de la forma 1111…000… =1111…*10*10*10… Al ser primo distinto de 2 y 5 (si es base 10. Si no cambiaríamos la condición), no puede dividir a 10, luego dividirá a 1111… que es el repunit pedido.

¿Te quieres complicar un poco?

Por el Teorema de Fermat, si N es primo distinto de 2 y 5, será coprimo del 10, y se verificará que 10N-1-1 =9999…(N-1)…999 = 9*1111…(N-1)…111 es múltiplo de N. Si N no es 3, dividirá a 1111…(N-1)…111, y si lo es, basta elegir un repunit con un número de unos múltiplo de 3. También hemos descubierto que salvo en el caso del 3, el número de unos del repunit es N-1.

Este razonamiento se aplica de forma similar en otras bases.

domingo, 10 de enero de 2010

Primo divisor de repuno

¿Sabías que todo número primo distinto de 2 y 5 es divisor de un "repunit" (o “repuno”), que es un número cuyas cifras son todas iguales a la unidad: 1111111….?

Esta propiedad no depende de la base en la que esté escrito el repunit, si ésta es prima con el número dado (ya no intervendrian el 2 y el 5). Así, 7 divide a 111111 escrito en cualquier base coprima con él. Observa estas igualdades:

111111(10 = 111111(10 = 7*15873
111111(9 = 66430(10 = 7*9490
111111(2 = 63(10 = 7*9
111111(16 = 1118481(10 = 7*159783

¿Sabías que si el número es compuesto (o primo) es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000…?

Esta propiedad es independiente de la base, salvo el número de unos y ceros. Por ejemplo:

111111000(10 = 14*7936500
111111000(3 = 9828(10 =14*702
1111111000000(8 = 78536507392(10 = 14*5609750528
111111111000(2 = 4088(10 = 14*292

Publicaremos próximamente los razonamientos en los que se basan estas propiedades.

viernes, 8 de enero de 2010

Deconstruir y construir números enteros

Idea para el aula

Tomamos a palabra deconstruir de nuestro admirado cocinero Ferrán Adriá. Al igual que él descompone un plato en sus constituyentes y lo vuelve a montar de otra forma, nosotros lo haremos con números. La idea es descomponer un número entero de alguna forma, usando varias operaciones, y después volverlo a construir de otra manera totalmente distinta con los mismos ingredientes.

Lo vemos con el año 2010

La idea es usar distintas técnicas en cada paso: separar cifras, buscar factores primos, descomponer en cuadrados, hallar promedios, usar las cuatro operaciones básicas, etc.

Para un mismo número se pueden establecer competiciones en el aula, para ver qué esquema de deconstrucción es más elegante, o más complejo, o con operaciones de naturaleza más alejada. Puede ser un entretenimiento muy formativo, pero se deberá adaptar a la edad de alumnado y a sus conocimientos.

miércoles, 6 de enero de 2010

Algoritmos ayudados

En un comentario a una entrada anterior de este blog, Claudio nos proponía lo siguiente:

Te envío un problema que mandó Rodolfo Kurchan a la lista de Snark :

Este simpático acertijo me lo envió Michael Reid de EEUU: Colocar los dígitos 0, 1, .... , 9, sin repetir en la expresión a^b + c^d + e^f + g^h + i^j para obtener el año actual.

Pensé en aplicar esta idea al 2010. Como estábamos en días navideños, no me apetecía pensarlo mucho. Por otra parte, si intentaba un algoritmo sin preparación, me podía encontrar con 1010 pasos, lo que era demasiado para cualquier hoja de cálculo.

Así que pensé en ayudar un poco al algoritmo, para ver si entre la máquina y yo lo encontrábamos sin gran esfuerzo. La primera idea fue la de un algoritmo voraz, pero también había que diseñar bastante, y mi cabeza estaba con los villancicos.

Después de cavilar se me ocurrió elaborar una lista de potencias desde 00 hasta 99 eliminando las mayores de 2010 y casi todas las triviales: 13, 14,...08…La lista estaba compuesta por 1296, 1024, 729, 625, 512,…5, 4, 3, 2, 1, 0 (29 en total)

De esta forma, el algoritmo podía traducirse a “Descomponer 2010 en sumandos tomados de una lista”. Aún así, los cálculos tardaban demasiado (295 pasos) y los compromisos sociales me esperaban. Lo dejé para otro día.

Reanudada la tarea, impuse la condición de que los sumandos fueran no crecientes, lo que simplificaba la búsqueda, y como 2010/5 = 402 debería haber algún sumando superior a esa cantidad. De esta forma puede seguir recortando pasos.

Al final obtuve una lista de sumandos que comenzaba con

1296+625+81+8+0
1296+625+81+7+1
1296+625+81+6+2

y terminaba con

625+625+625+128+7
625+625+512+243+5
625+625+512+216+32

Ya tenía algo con lo que trabajar. Añadí a cada sumando los dígitos que lo formaban como una potencia:

1296 6 y 4 625 5 y 4 81 9 y 2 3 y 4 8 8 y 1 2 y 3 0

Ya sólo quedaba elegir las posibilidades en las que no se repitieran los dígitos. Encontré cuatro:

45+28+93+17+06=2010
45+28+93+16+07=2010
45+28+36+18+07=2010
45+28+36+17+09=2010

De esta forma la hoja de cálculo aportó una base para soslayar mi pereza mental, y yo le ayudé con mi sentido común.

¿Habrá más soluciones? Ya digo que esto me cogió con la mente dispersa. Si alguien los encuentra, aquí le esperamos.

Feliz año 2010

lunes, 4 de enero de 2010

Propiedades del número 2010 (4)

La solución a la cuestión 8 de la entrada anterior es: el año 2040, que está entre los números primos 2039 y 2053. Si a ambos les sumamos el 2040 se convierten en 4079 y 4093, ambos primos.

Terminamos con una propiedad que no la tienen muchos números: 2010 es el producto de dos de los subconjuntos ordenados que se pueden formar con sus cifras: 2010 = 201*10. Igual le ocurre al 735=35*7*3

sábado, 2 de enero de 2010

Propiedades del número 2010 (3)

Y siguen más propiedades del 2010:

(7) Es el número de árboles posibles con 15 vértices y diámetro 7
(visto en http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html)

(8) Si a los dos números primos más cercanos a él, 2003 y 2011 les sumamos 2010, resultan otros dos primos, 4013 y 4021.

¿Cuál será el próximo año que tenga esa misma propiedad?

(9) Si elevamos 2010 al cubo y lo dividimos por 3, resulta 2706867000, que está comprendido entre los dos primos gemelos 2706866999 y 2706867001
(adaptado de The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)

(10) Es igual a la suma de los cuadrados de cinco números consecutivos:
2010 = 182+192+202+212+222
(adaptado de The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)

Solución a la cuestión de la entrada anterior:

Los siguientes números con esa propiedad son:

2012: IND=1004; NUMDIV=5; 1+0+0+4=5
2030: IND=672; NUMDIV=15; 6+7+2=15
2032: IND=1008; NUMDIV=9; 1+0+0+8 = 9
2042: IND=1020; NUMDIV=3; 1+0+2+0 = 3

viernes, 1 de enero de 2010

Propiedades del número 2010 - Colaboración especial

Publicamos a continuación un comentario recibido de nuestro amigo y colaborador Rafael Parra Machío. Por su amplitud y profundidad le hemos pedido autorización para publicarlo como entrada. Contiene muchas pistas de búsqueda e invitaciones a profundizar en los temas que propone:

(1) El número 2010 factoriza como 2*3*5*67. Dos de estos factores son de la forma 4k+3=3=67 luego, es un número que no puede ser suma de dos cuadrados, pero sí puede ser diferencia.

Si hacemos que 2010=30*67, tenemos X2-Y2=((67+30)/2)2-((67-30)/2)2=2010.

(2) El número 2010 también se puede convertir en ternas pitagóricas.

Por ejemplo: 20102+((20102-1)/2)2=((20102+1)/2)2, y también
20102+42642=47142
20102+403762=404262

(3) Alhacén(965-1039), al que llamaron el Arquímedes árabe, podía haber resuelto para 2010=30*67

((672+302)/(2*30))2=672+((672-302)/(2*30))2.

(4) Fermat y/o Euler podían haber realizado, para el 2010
52+312+322=112+172+402
82+132+162+392=42+82+92+432

(5) Diofanto de Alejandría se habría complicado más la vida,
13+13+43+63+123=
51+51+53+54+54+54=
21+23+24+26+27+28+29+210

(6) Con la aparición de las curvas elípticas, donde Y2=X3+X2+X, a partir de ((nt+n)/2)2- ((nt-n)/2)2=n(n+1), podemos establecer para n=2010

20210552=20103+20190452
40603015052=20104+40602994952

(7) Los mesopotámicos nos dejaron las fracciones unitarias, que podemos utilizar para convertir el número 2010 en suma de dos primos. Por ejemplo: Para 2010=30*67,
1/30+1/67=(30+67)/(2010-(30+67)= 97/1913, dos números primos que suman 97+1913=2010. Pero observar que 97=30+67 y 2010=30*67, entonces
X2-97X+2010=0 donde x1=30 y x2=67

Si en lugar de tomar dos raíces, tomamos tres, tenemos

1/a+1/b+1/c= Q/(Q+1)donde Q es un racional, entonces
Q=(a(b+c)+bc)/(abc-(a(b+c)+bc). Ahora, recordemos la estructura de una ecuación cúbica:
X3+BX2+CX+D=(x-a)(x-b)(x-c), entonces,
x3-(a+b+c)X2+(a(b+c)+bc)X-abc=0, donde x1=a, x2=b, x3=c.

Para 5,6,67 X3-78X2+767X-2010=0 con {5,6,67} como solución.

Feliz Año Nuevo para todos.

Como veis, Rafael nos marca varios caminos a partir del 2010, por si deseamos seguir investigando en las propiedades de los números. ¿Os atrevéis?