domingo, 26 de diciembre de 2010

Uso de tablas en el aula

Desde la llegada de las calculadoras y los ordenadores el manejo de tablas se ha ido olvidando en nuestras aulas. Sin embargo, su poder formativo es muy grande, y son imprescindibles cuando su contenido está compuesto por datos experimentales, que no se pueden obtener con una calculadora.

¿Qué capacidades del alumnado podemos enriquecer con ese uso? Desarrollamos a continuación algunas de ellas:

Consulta

Muchas de las tablas verdaderamente útiles son de doble entrada (en parte para aprovechar espacio en los libros) pero a los alumnos les puede suponer una gran dificultad su manejo. Un ejemplo de ello son las antiguas tablas de cuadrados. Reproducimos a continuación un fragmento de una tabla de cuadrados construida con Hoja de Cálculo.



0
1
2
3
4
5
2
4
4,0401
4,0804
4,1209
4,1616
4,2025
2,1
4,41
4,4521
4,4944
4,5369
4,5796
4,6225
2,2
4,84
4,8841
4,9284
4,9729
5,0176
5,0625
2,3
5,29
5,3361
5,3824
5,4289
5,4756
5,5225
2,4
5,76
5,8081
5,8564
5,9049
5,9536
6,0025
2,5
6,25
6,3001
6,3504
6,4009
6,4516
6,5025
2,6
6,76
6,8121
6,8644
6,9169
6,9696
7,0225
2,7
7,29
7,3441
7,3984
7,4529
7,5076
7,5625
2,8
7,84
7,8961
7,9524
8,0089
8,0656
8,1225
2,9
8,41
8,4681
8,5264
8,5849
8,6436
8,7025


La hemos elegido porque las cifras que figuran en la fila superior son centésimas, lo que obliga a realizar un esfuerzo de interpretación. Así, para calcular el cuadrado de 2,64 se deberá buscar la fila 2,6 y ver dónde se cruza con la columna del 4, con un resultado de 6,9696.

Son muchas las tablas estadísticas y experimentales que pueden presentar este tipo de dificultades, por lo que creemos que dedicarles a las tablas algunas sesiones no será tiempo perdido.

Interpolación

Otra utilidad formativa de las tablas proviene de la necesidad de efectuar interpolaciones debido a que no nos presentan todos los resultados posibles. Además, en cada interpolación se puede tener una idea del error cometido, al tener siempre dos valores de la tabla acotando al verdadero.

Un ejemplo de interpolación directa:
¿Cuál es tu mejor aproximación para el cuadrado de 2,427 (usando la tabla)?

Buscamos los datos de 2,42 y 2,43, con los resultados siguientes:

Número    Cuadrado
2,42          5,8564
2,43          5,9049

Calculamos la tasa de variación: T=(5,9049-5,8564)/(2,43-2,42) = 4,85 y la multiplicamos por 0,007, que es la cifra siguiente, con un resultado de 0,03395, que sumado al primer valor nos da una aproximación de 2,4272 = 5,89035 próximo al que nos daría una calculadora: 2,4272 = 5,890329.

No nos extendemos en este tema, pero nuestros lectores pueden ir reflexionando sobre todas las operaciones mentales que han efectuado los alumnos para entender y reproducir los cálculos anteriores

Extensión de la tabla

Interpolación inversa: Encuentra mediante la tabla el valor aproximado de la raíz cuadrada de 731

En primer lugar deberán entender que esta tabla, mediante multiplicaciones por potencias de 10, puede resolvernos otros cálculos que no figuren en ella. En este caso buscamos los dos valores más aproximados a 7,31, que son

Número    Cuadrado
2,7            7,29
2,71          7,3441

Procedemos como en el anterior ejemplo. Calculamos la tasa inversa TI=(2,71-2,7)/(7,3441-7,29) = 0,18484288 la multiplicamos por (7,31-7,29), con un resultado de 0,00369686, que sumado a 2,7 nos da una aproximación a la raíz de 7,31 igual a 2,70369686. Como nos piden la raíz de 731 y no de 7,31, multiplicamos por 10 (¿por qué?) y finalmente obtenemos el valor 27,0369686, aproximado al que nos da la calculadora: 27,0370117

Si revisamos todo lo efectuado, también descubriremos en este cálculo los conceptos y capacidades que se adquieren con él. No es una propuesta fácil. Se manejan conceptos de cierta profundidad, por lo que deberíamos darnos por satisfechos con cualquier logro que se alcance.

Construcción

La construcción de estas tablas estaría reservada al profesorado y a alumnado de enseñanza media. Una idea, llevada  la práctica por el autor, es la de que los alumnos de Informática construyan tablas con hojas de cálculo y se las pasen a otros cursos para que practiquen con ellas. Así el beneficio es doble.

No es trivial esta construcción. Invitamos a los lectores a reproducir la tabla ejemplo que hemos insertado y podrán comprobar que hay que ir con cuidado. Proponemos también construir la siguiente tabla de interés compuesto, en la que dados el tipo de interés anual y los años transcurridos nos devuelva el tipo acumulado (no el TAE).




Años




 Tipo
1
2
3
4
5
1%
1,0%
2,0%
3,0%
4,1%
5,1%
2%
2,0%
4,0%
6,1%
8,2%
10,4%
3%
3,0%
6,1%
9,3%
12,6%
15,9%
4%
4,0%
8,2%
12,5%
17,0%
21,7%
5%
5,0%
10,3%
15,8%
21,6%
27,6%
6%
6,0%
12,4%
19,1%
26,2%
33,8%
7%
7,0%
14,5%
22,5%
31,1%
40,3%