miércoles, 29 de diciembre de 2010

Propiedades del número 2011 (1)

En esta ocasión la bienvenida al nuevo año la daremos en dos entradas. En esta primera completamos varias curiosidades con alguna cuestión, por si deseas ampliarlas. En la segunda, que publicaremos el día 31, presentaremos un documento de nuestro colaborador Rafael Parra Machío, en el que aprovecha el número 2011 para presentar muchos conceptos sobre números primos

En el mundo de los primos

¡Por fin! Llevábamos ocho años sin un año primo. Este es el que ocupa el lugar 305 en la lista. Al ser primo, su indicador de Euler (función phi) será 2010, que se expresa con los mismos dígitos que 2011 (pocos primos tienen esta propiedad)

Además, es suma de tres primos consecutivos: 2011=661+673+677, y también de once primos consecutivos.  Investiga cuáles.

Es media aritmética de 42 pares distintos de primos: (1993+2029)/2=2011;  (1933+2089)/2=2011; (1879+2143)/2=2011; …. (42 pares) …; (3+4019)/2=2011. Ninguno de ellos termina en 7 ¿Casualidad o se puede justificar?

Los números primos consecutivos con 2011 se engendran cambiando un solo dígito en el anterior y eventualmente su orden:

2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069
(visto en http://www.research.att.com/~njas/sequences/A157885)
 

No es un primo de Sofíe Germain, porque 2011*2+1=4023 no es primo, pero sí lo es 2011*2-1 = 4021

Con cuadrados, triangulares o capicúas

Como todos los primos, sólo admite una representación como diferencia de cuadrados. Te damos unos segundos para encontrarla. Sin embargo, no hay que buscar una representación como suma de cuadrados. No va a salir. ¿Por qué?

Pero también es diferencia entre dos capicúas, uno de ellos de tres cifras. ¿Cuáles? Si invertimos 2011 a 1102, también es diferencia entre capicúas: 1102=101101-99999.

Puestos a invertir, si 20112 = 4044121, el cuadrado al invertir las cifras también resulta invertido:  11022 =  1214404. Y otra curiosidad: los dígitos de 2011 forman un cuadrado perfecto al sumarlos 2+0+1+1=4, y los dígitos de su cuadrado también: 1+2+1+4+4+0+4=16. Alguien dirá que esto no es ninguna curiosidad. ¿O sí? ¿En qué tipos de números se cumple?

2011 se puede descomponer en suma de tres cuadrados de cuatro formas diferentes:

2011=7^2+21^2+39^2
2011=9^2+9^2+43^2
2011=9^2+29^2+33^2
2011=21^2+27^2+29^2

En suma de cuatro cuadrados admite (salvo error nuestro) 47 representaciones, siendo los cuadrados iguales o distintos.

¿Quieres comprobarlo tú? Amplía este código:

b=sqr(2011)+1
for i=0 to b
for j=0  to i
for k=0 to j
for m=0 to k

a=i^2+j^2+k^2+m^2

if a=2011 then
msgbox(i)
msgbox(j)
msgbox(k)
msgbox(m)
end if

next m
next k
next j
next i

Se descompone en suma de triangulares de dos formas:
2011=120+1891    2011=300+1711


Otros

Al elevarlo a cuadrado con la multiplicación tradicional, no produce arrastres de cifras. Por eso son “económicos” en cifras: sólo usan 0,1,2 y 4.

En el 2011 la suma de dígitos coincide con el número de dígitos ¿Cuál es el siguiente número con esa propiedad?

4 comentarios:

Anónimo dijo...

Corta, concisa y sencilla: UNA EXCELENTE INTRODUCCIÓN A LAS PROPIEDADES DEL NÚMERO 2011.
Eso sí, algunas de las proposiciones requieren mucha atención para su desarrollo.
Enhorabuena amigo Antonio, este tipo de trabajos son los que crean afición.
Un abrazo.
Rafael

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Rafael

Cuando lean tu documento el día 31 sí que van a asombrarse.

Un abrazo

Freddy Palacios Loayza dijo...

Interesante y felicitaciones,pero una observación en la parte donde dice :((((Puestos a invertir, si 20112 = 4044121, el cuadrado al invertir las cifras también resulta invertido: 11022 = 1214404.))))le falto poner el signo de potencia 2011^2 y 1102^2 o sino el código latex si es que lo tienes:
$ 2011^2$, saludos desde el Perú.

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Freddy. Ya lo he corregido.

Feliz año 2011