miércoles, 13 de octubre de 2010

Cuestiones muy preparadas

Es frecuente encontrar en las colecciones de problemas de Matemáticas cuestiones algo extrañas y originales, que parecen haber sido preparadas para una ocasión sin que importe su influencia en la teoría general de la materia que tratan.

Ese es el caso de la siguiente, tomada del libro “Matemáticas ocurrentes”, de Víctor Manuel Sánchez González y otros:

Comprobar que para todo número natural n, el número M=3*52n+1+23n+1 es múltiplo de 17.

Resulta extraño que una suma de potencias de distintas bases produzca siempre múltiplos de un número, pero así es. Su originalidad hace sospechar que haya sido preparado ajustando bases y coeficientes para conseguirlo.

El libro propone dos métodos para demostrar esta propiedad:
  • Se busca la potencia de un binomio uno de cuyos sumandos sea 17. Al desarrollar el binomio todos los términos son múltiplos de 17 menos uno, pero este forma otro múltiplo al sumarlo con el resto de la expresión.
  •  El socorrido método de la inducción completa.

Quedan invitados los lectores a intentar estas dos demostraciones.

También sería interesante inventar cuestiones similares. Si se logra la demostración mediante el primer método, su proceso nos da idea de cómo inventarnos otro ejemplo parecido.

Presentamos dos:

Comprobar que para todo número natural n, el número M=42n+1+32n+1 es múltiplo de 7.

Igualmente, el número M=9*72n+23n+5 es múltiplo de 41.

¿Podrías inventarte otras?

1 comentario:

Anónimo dijo...

Un interesante ejercicio sobre prácticas de divisibilidad. Sin ser demasiado original, plantearía sistemas modulares, a saber:
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3*5^(2n+1)+2^(3n+1)==0(mód.17)
Para n=0: 3*5^1+2^1=17
Para n=1: 3*5^3+2^4=391=17*23
Para n=2: 3*5^5+2^7=9503=17*559
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4^(2n+1)+3^(2n+1)==0(mód.7)
Para n=0: 4^1+3^1=7
Para n=1: 4^3+3^3=91=7*13
Para n=2: 4^5+3^5=1267=7*181
----------------------------
9*7^(2n)+2^(3n+5)==0(mód.41)
Para n=0: 9*7^0+2^5=41
Para n=1: 9*7^2+2^8=697=41*17
Para n=2: 9*7^4+2^11=23657=41*577
Es otra forma de camuflar la inducción. Como dice el refrán, aunque la mona se vista de seda, no se casará con Tarzán.
Efectivamente, hay muchos autores que "fabrican" este tipo de ejercicios, quizás porque no reflexionan que puede ser tan fácil o difícil demostrar la respuesta cierta como la respuesta negativa. Hay un libro que se llama El Universo de las Matemáticas, de William Dunham, que trata este tipo de situaciones.
Un abrazo
Rafael Parra