domingo, 20 de junio de 2010

Uno de olimpiadas

Hoy toca proponer un problema de olimpiadas matemáticas. No es difícil:


Probar que existen infinitos valores enteros de a que cumplen esta propiedad: La expresión n4+a siendo  n un número natural cualquiera nunca produce un número primo.

2 comentarios:

Anónimo dijo...

Antonio, n^4+a siendo n y a números naturales cualquieras, yo creo que sí generan números primos.
Por ejemplo, para n=2: 2^4=16 y dando valores a a:
16+1=17; 16+3=19; 16+7=23...16+43=59, todos son primos. Es verdad que con un desarrollo algebraico, resulta un determinante de 256n^3, pero con raíces complejas.
Un problema parecido lo encuentro en Number Theory for Mathematical Contests, de David A.Santos, libro dedicado a la preparación de concursantes para Olimpiadas Matemáticas. Este problema es:
Demostrar que n^4+4 es un número primo sólo si n=1 con n perteneciente a Naturales. Plantean la sisguiente solución:
n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2
=(n^2+2)^2-(2n)^2
=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n)
=((n-1)^2+1)((n+1)^2+1)
Cada factor es mayor que 1 para n > 1 y, así n^4+4 no puede ser primo.
Espero que yo esté equivocado por haber entendido tu planteamiento.
Un saludo
Rafael de Barcelona

Antonio Roldán Martínez dijo...

Hola Rafael

Gracias por intervenir

Puede que el problema no esté bien expresado. La idea es dar un valor a la variable A fijo, y a la N un valor cualquiera.

Pues bien, hay valores de A para los que N^4+A puede ser primo o compuesto, según sea N, pero para algunos, como el 64, la expresión nunca da un número primo, sea cual sea N.

El desarrollo es similar al que propones tú para el otro problema:

N^4+64 = N^4+16N^2+64 – 16N^2 = (N^2+8)^2 –(4N)^2 = … y al final resulta compuesto.

Lo que propone el problema es que, además del 64, existen infinitos valores de A (no todos) para los que esa expresión N^4+A nunca da un número primo (para otros valores de A sí).

A por él

Un abrazo

Antonio