domingo, 27 de junio de 2010

Dándole vueltas (5)

Mantener un blog de números con cierta periodicidad supone un gran esfuerzo en la búsqueda de temas y su posterior desarrollo. Por eso, suelo usar “disparadores de ideas”: páginas web, libros o revistas que tratan un tema matemático y que en sus desarrollos se incluyen fórmulas o propiedades que me sugieren (¡ajá!) un desarrollo sobre ellas.

Una de las páginas que visito con frecuencia es la popular The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, de dirección http://www.research.att.com/~njas/sequences/

La otra tarde escribí en ella el número 30500 (eso recordaba yo, pero no fue así) y descubrí que era suma de los cuadrados de cuatro números primos consecutivos. Así que me interesé por el tema, y como hacía tiempo que no le daba vueltas a una cuestión, lo elegí con ese fin y así lo presento:

(1) La serie de números que son suma de cuadrados, salvo el primero, que contiene el cuadrado de 2, todos son pares, como era de esperar, pero ¿existe alguna terminación en 0, 2, 4, 6 u 8 que no puedan presentar nunca?  Intenta justificarlo. Es una cuestión bastante sencilla.

(2) Más sencilla todavía: Salvo el primero, todos son múltiplos de 4 (es sencilla pero no trivial, podían ser pares no múltiplos de 4)

(3) Cuando volví a la página de secuencias enteras y probé 30500 me di cuenta de que estaba recordando mal. Ese número no presenta la propiedad deseada. Después de varios intentos encontré que el valor probado había sido otro terminado también en 500, pero con unos pocos miles menos. ¿Qué número es y qué cuadrados de números primos consecutivos lo forman? (Hay otro más pequeño que también termina en 500)

(4) Si dispusiéramos de la función primprox(N) “próximo primo después de N” podríamos preparar un algoritmo que nos devolviera la serie de este tipo de números. Esta función PRIMPROX la tenéis publicada en el Anexo del libro “Números y hoja de cálculo I” de nuestra colección Hojamat.es

Bastaría iniciar cuatro variables a=2, b=3, c=5, d=7, los cuatro primeros primos, y después ir copiando una en otra de esta forma: a=b, b=c, c=d, d=primprox(d). Así se recorrerían todas las cuaternas de números primos consecutivos y bastaría elevarlos al cuadrado y sumar. Así se ha construido esta lista en hoja de cálculo:

Orden   Primer primo   Suma
1           2                       87
2           3                       204
3           5                       364
4           7                       628
5           11                     940
6           13                     1348
7           17                     2020
8           19                     2692
9           23                     3700
10         29                     4852

(5) Las consideraciones anteriores nos permiten construir un algoritmo que nos determine, dado un número múltiplo de 4 si es suma de cuadrados de primos consecutivos o no. ¿Qué pasos tendría?

(6) Si repitiéramos el estudio con sumas de tres cuadrados en lugar de cuatro, ningún resultado, salvo el que comienza con 52, termina en 5. ¿Por qué?
Si lo intentáramos con sumas de dos primos, ningún resultado termina en 6, y a partir del cuarto, tampoco en 4. ¿Cuál es la razón?