viernes, 28 de mayo de 2010

Cuadrados vecinos de triangulares (3)

Para encontrar triangulares y cuadrados consecutivos podemos intentar usar las técnicas algebraicas.
Acudimos a la fórmula de los números triangulares para plantear la igualdad pedida


en la que el doble signo de 1 se justifica porque el triangular puede ser mayor o menor que el cuadrado. Si desarrollamos y exigimos que el discriminante de la ecuación sea cuadrado perfecto, llegaremos a la ecuación de Pell x2-8y2=-7 en el primer caso y a la x2-8y2=9 en el segundo (intenta desarrollarlo así y te resultarán esas dos ecuaciones)

Podemos llegar a las mismas ecuaciones recordando que un número triangular multiplicado por 8 y añadiéndole una unidad se convierte en cuadrado perfecto. De esta forma llegamos a la ecuación de Pell de forma mucho más rápida.


Con el signo + del 1 llegamos a m2-8k2 = -7 y con el menos a m2-8k2 = 9

Así que el problema desemboca en la resolución de las ecuaciones x2-8y2=-7 ; x2-8y2=9

No todas las ecuaciones de Pell tienen solución. Estas dos sí las tienen, como se puede ver por tanteo: 52-8*22=-7 ; 92-8*32=9, que nos dan las primeras soluciones del problema:

Si x=5 y=4 obtenemos el número triangular 3 y el cuadrado 4 que son consecutivos

Si x=9 y=3 aparecerán el triangular 10 y el cuadrado 9, consecutivos, pero con el triangular mayor.

Estas soluciones coinciden con las primeras obtenidas con la hoja de cálculo.

Pero ¿y las demás soluciones?

Si la ecuación de Pell hubiera sido x2-8y2=1, una solución trivial sería X0=3, y0=1. Nos podemos aprovechar de esto de la siguiente forma:

La identidad 32-8*12 = 1 la podemos escribir como un producto en el anillo Q(R), siendo R la raíz cuadrada de 8:

Igualmente, la ecuación x2-8y2=-7 la podemos escribir como


Si ahora multiplicamos ambas ecuaciones obtendremos:


y agrupando términos


o bien

De esta forma hemos obtenido una fórmula de recurrencia para las siguientes soluciones:

xn =3xn-1+8yn-1     yn=xn-1+3yn-1

Esta fórmula valdría igualmente para el caso x2-8y2=9

Lo hemos desarrollado en una hoja de cálculo:

Para el primer caso:


Para el segundo:


Esta segunda tabla coincide con la obtenida con hoja de cálculo en la entrada anterior:

10            9
325          324
11026      11025
374545    374544

pero en el primer caso ¡sólo hemos obtenido la mitad!

Con la hoja salían más:

0              1
3              4
15            16
120          121
528          529
4095        4096
17955      17956
139128    139129
609960    609961


¿Cuál es la causa? 

Si no quieres esperar a otra entrada, piensa en alguna operación que hemos efectuado y que podía tener otra salida.