viernes, 9 de abril de 2010

También sin calculadora

Nos hemos aficionado a prescindir de la calculadora en este blog. Aquí tenéis una propuesta nada difícil, pero que se puede usar para ordenar bien nuestros cálculos y razonamientos. No son necesarios grandes desarrollos.

Imaginemos todos los números de tres cifras entre las que no figura el 0, como por ejemplo 163. Diremos que uno de ellos es centralmente accesible con su simétrico si se pueden convertir uno en el otro sumando reiteradamente (o restando) la cifra central. Por ejemplo, 163 es accesible con su simétrico 361, porque 163+6+6+6….(33 veces)… = 361.

Al número de veces que hay que sumar la cifra central para lograr la conversión la llamaremos distancia central. En el ejemplo anterior es 33. En los capicúas es evidente que será 0. Para el par 129 y 921, la distancia es nada menos que 396, porque 129+2*396=921. Otros números ni siquiera poseen distancia, porque no son accesibles, como 245 y 542

Os proponemos algunas cuestiones realmente fáciles:

(1) ¿Qué condición han de cumplir dos números simétricos de tres cifras para que sean accesibles entre sí? (Parece ser que hay 189 parejas de ese tipo)

(2) Excluyendo el valor trivial de 0, ¿cuáles son la distancia central mínima y la máxima para este caso de tres cifras?

(3) Demuestra que si una distancia obtenida resulta ser de tres cifras no nulas, siempre es accesible con su simétrico. Ocurre así con 833-338=495=3*165, luego su distancia es 165, que a su  vez es accesible con 561, ya que 561-165=66*6, lo que da distancia 66.

(4) En esta sí es conveniente usar una hoja de cálculo. Sólo hay un número de tres cifras no nulas en progresión aritmética cuya distancia central con su simétrico posee también cifras en progresión, aunque no en el mismo orden.

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