miércoles, 3 de marzo de 2010

Una investigación en la Red (Solución)

Solución:

Todo cuadrado centrado

se descompone en dos cuadrados consecutivos:


La figura se explica por sí misma: el cuadrado centrado de orden 4, con valor 25, se descompone en cuatro triangulares, dos iguales y los otros dos consecutivos, que recombinados forman los cuadrados de orden 3 y 4 respetivamente

Por tanto, CC4 = C4+C3 (CC: Cuadrado centrado, C: cuadrado normal), lo que nos lleva a la fórmula para los cuadrados centrados CCn = n2+(n-1)2 = 2n2 – 2n + 1.

Para demostrar que puede ser el término mayor de una terna pitagórica elevamos su fórmula al cuadrado y podemos dividirla en dos cuadrados:

(2n2 – 2n + 1)2 = 4n4 - 8n3 + 8n2 -4n + 1 = (2n2 – 2n)2 + (2n – 1)2

con lo que descubrimos que la terna tiene la estructura X, Y, Y+1, con X2 = 2y+1

En la siguiente tabla están contenidos los desarrollos de los 10 primeros cuadrados centrados. Algunas ternas son muy populares:



¿Se puede demostrar el teorema inverso: Si en una terna pitagórica la hipotenusa se diferencia en una unidad del cateto mayor, dicha hipotenusa es un número cuadrado centrado?