32+42 = 52
102+112+122 = 132+142
212+222+232+242 = 252+262+272
Quizás deberíamos distinguir entre comprobar y demostrar.
(1) En el siguiente documento del Club Mensa http://www.mensa.es/carrollia/c63.pdf
puedes estudiar una demostración que requiere mucho cálculo algebraico, pero que al final llega, por demostración, a que el primer cuadrado debe ser el del número n(2n+1).
(2) Si recuerdas que la suma de los n primeros números cuadrados es igual n(n+1)(2n+1)/6, puedes sustituir cada miembro de la igualdad como una diferencia entre este tipo de sumas. Luego, a desarrollar paréntesis y cuadrados hasta llegar a una misma expresión algebraica en ambos. Tomamos como primer cuadrado el de n(2n+1) = 2n2+2n
La calculadora online Wiris nos puede ayudar.
y se obtiene la igualdad de resultados: 24n5+60n4+50n3+15n2+n.
(3) Lo anterior no es una demostración, sino una comprobación de que el inicio en n(2n+1) es correcto. Para demostrarlo podemos seguir basándonos en S= n(n+1)(2n+1)/6.
Si usamos como variable N el número anterior a una suma de este tipo y llamamos K al número de sumandos, se puede demostrar que (N+1)2+(N+2)2+…+(N+K)2 = 2K3+(6N+3)K2+(6N2+6N+1)K.
Si aplicamos esta fórmula por una parte a N y K (primer miembro) y por otra a N+K y K-1 (segundo miembro), al igualarlas, y simplificar mucho (¡ mucho!), llegamos a una ecuación de segundo grado de soluciones enteras, que nos exige que N=K(2K-3), que es equivalente al de n(2n+1) con un cambio de variables.
Todo lo propuesto es muy costoso de desarrollar, pero te queda la satisfacción de no tener que creértelo sólo porque esté escrito en un blog.
3 comentarios:
Antonio, un tema muy interesante y que te los has currado muy bien.
Para dar solución a la ecuación x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+..., el profesor de matemáticas de la Universidad de Israel, Peter Isaak Samovol, a partir de n(2n+1)=2n^2+n, sacando derivadas la convirtió en 2n^2+n=4n+1. Dando valores a n, podemos obtener:
n=1: x^2+y^2=a^2=3
n=2: x^2+y^2+z^2=a^2+b^2=10
n=3: x^2+y^2+z^2+t^2=a^+b^2+c^2=21 etc. Los números 3,10,21 corresponden a los valores de X y nos permite realizar:
3^2+4^2=5^2 =(Sum(x^2,{x,3,5}))/2=25
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2=(Sum(x^2,{x,10,14}))/2=365
21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2=(Sum(x^2,{x,21,27}))/2=2030
Como podemos observar,se crea una ley a partir de la cual,la solución se obtiene mediante sumatorios.
Por ejemplo, para n=5, como 5(2*5+1)=55, obtenemos
(Sum(x^2,{x,55,65}))/2=19855 donde
55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=
61^2+62^2+63^2+64^2+65^2=19855
Un saludo
Gracias, Rafael
Me ha interesado lo las derivadas, pero no he llegado a entenderlo totalmente. Cuando tengas tiempo nos vendría bien otra explicación.
Saludos
Sea n(2n+1)=2n^2+n y sea su derivada D(2n^2+n)=4n+1.
Si 2n^2+n-(4n+1)=0, simplificando
n(2n-3)=1 es equivalente a k(2k-3)=N. Esto lo podemos escribir como 2n^2=3n+1.
Si tenemos en cuenta que el número de sumandos de cada serie viene determinado por (2n^2+n)/n=2n+1, entonces ((2n+1)+1)/2 serán los sumando de la izquierda y ((2n+1)-1)/2 serán los sumandos de la derecha.
Por ejemplo: Para n=7, el valor de X=2*7^2+7=105 y el número de sumandos vendrá determinado por 105/7=15 de los que, (15+1)/2=8 corresponden a la izquierda y (15-1)/2=7 corresponden a la derecha, o sea,
105^2+106^2+107^2+108^2+109^2+110^2+111^2+112^2=94220
113^2+114^2+115^2+116^2+117^2+118^2+119^2=94220
Como ves, tú ya llegastes a esta solución sin recurrir al cálculo, por eso te decía que el tema te lo habías currado muy bien.
Referente a Samovol, posee una gran experiencia en la preparación de estudiantes para olimpiadas internacionales y la preparación de niños y jovenes superdotados. Entre sus obras podemos encontrar La Matemática Elegante que es un libro que no puede faltar en la biblioteca de los que nos gustan los números. Curiosamente, este tema no lo trata en este libro.
Perdona por la demora en contestar, pero he tenido problemas con internet y, espero hayan quedado solucionados.
Un abrazo
Rafael de Barcelona
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