domingo, 28 de febrero de 2010

Una investigación en la Red

Hoy proponemos una pequeña “caza del tesoro”:

¿Por qué los números cuadrados centrados pueden ser siempre los términos mayores (la hipotenusa) de ciertas ternas pitagóricas?

Por ejemplo: 612 = 602+112

Pues a por ello: navega por la Red, busca definiciones, propiedades, demostraciones… y lo que no encuentres complétalo tú.

Dentro de unos días lo analizaremos

4 comentarios:

Anónimo dijo...

Hola Antonio. Otro desafío muy interesante que puede tener mucha aceptación, principalmente porque es un tema que no se domina bien en las aulas.
Para conseguir ternas como la que propones, 61^2=60^2+11^2 donde los valores de Z y de Y difieren en una unidad, debemos utilizar las llamadas ternas mesopotámicas, descubiertas por la Tablilla Plimpton 322, que tiene como estructura, para m,n enteros m>n,
X=2mn, Y=(m^2-n^2), Z=(m^2+n^2)
siempre que la diferencia entre m y n sea la unidad, así
para m=6, n=5
(6^2+5^2)^2=61^2
(6^2-5^2)^2=11^2
(2*5*6)^2=60^2
de donde,
61^2=^60^2+11^2
Pitágoras modificó ligeramente la terna anterior, convirtiendola en
X=n, Y=(n^2-1)/2, Z=(n^2+1)/2
Así, para n=11,
X=11^2
Y=((11^2-1)/2)^2=60^2
Z=((11^2-1)/2)^2=61^2
Aquí debe utilizarse n impar, pues de ser par las ternas será, racionales.
Existen muchas clases de ternas, dependiendo los autores. Como les recomienda Antonio, busquen en la Red y encontrarán material interesante.
Un saludo
Rafael de Barcelona

Antonio Roldán Martínez dijo...

Muchas gracias, Rafael

Queda en pie la otra mitad de la propuesta:

¿Qué tiene que ver esto con los cuadrados centrados?

Quien se anime, que investigue.

Saludos

Anónimo dijo...

Aunque para mí, una terna pitagórica no es otra cosa que una ecuación diofántica, voy a entrar al trapo en tu sugerencia y demostrar mi ignorancia.
Creo que los cuadrados centrados deben referirse a números figurados y epicentros en figuras geométricas. Recuerdo que el monge alemán Michael Stifel(1487-1567) descubrió una terna basada en estos números donde
X=2n+1, Y= 2n(n+1) y Z=2n^2+2n+1
Por ejemplo: para n=7
7^2+112^2=113^2, siempre resulta
Z-Y=1.
Si tenemos en cuenta tu encuación generadora respecto al los cuadrados, podemos deducir una terna, por ejemplo,
35^2+612^2=613^2
donde 613 tambien es primo.
Espero no haber estado muy lejos de la realidad.
Un saludo
Rafael de Barcelona

Antonio Roldán Martínez dijo...

Hola Rafael

Mañana publico otra forma de abordar el problema que creo coincide esencialmente con lo que propones.

Muchas gracias.