viernes, 1 de enero de 2010

Propiedades del número 2010 - Colaboración especial

Publicamos a continuación un comentario recibido de nuestro amigo y colaborador Rafael Parra Machío. Por su amplitud y profundidad le hemos pedido autorización para publicarlo como entrada. Contiene muchas pistas de búsqueda e invitaciones a profundizar en los temas que propone:

(1) El número 2010 factoriza como 2*3*5*67. Dos de estos factores son de la forma 4k+3=3=67 luego, es un número que no puede ser suma de dos cuadrados, pero sí puede ser diferencia.

Si hacemos que 2010=30*67, tenemos X2-Y2=((67+30)/2)2-((67-30)/2)2=2010.

(2) El número 2010 también se puede convertir en ternas pitagóricas.

Por ejemplo: 20102+((20102-1)/2)2=((20102+1)/2)2, y también
20102+42642=47142
20102+403762=404262

(3) Alhacén(965-1039), al que llamaron el Arquímedes árabe, podía haber resuelto para 2010=30*67

((672+302)/(2*30))2=672+((672-302)/(2*30))2.

(4) Fermat y/o Euler podían haber realizado, para el 2010
52+312+322=112+172+402
82+132+162+392=42+82+92+432

(5) Diofanto de Alejandría se habría complicado más la vida,
13+13+43+63+123=
51+51+53+54+54+54=
21+23+24+26+27+28+29+210

(6) Con la aparición de las curvas elípticas, donde Y2=X3+X2+X, a partir de ((nt+n)/2)2- ((nt-n)/2)2=n(n+1), podemos establecer para n=2010

20210552=20103+20190452
40603015052=20104+40602994952

(7) Los mesopotámicos nos dejaron las fracciones unitarias, que podemos utilizar para convertir el número 2010 en suma de dos primos. Por ejemplo: Para 2010=30*67,
1/30+1/67=(30+67)/(2010-(30+67)= 97/1913, dos números primos que suman 97+1913=2010. Pero observar que 97=30+67 y 2010=30*67, entonces
X2-97X+2010=0 donde x1=30 y x2=67

Si en lugar de tomar dos raíces, tomamos tres, tenemos

1/a+1/b+1/c= Q/(Q+1)donde Q es un racional, entonces
Q=(a(b+c)+bc)/(abc-(a(b+c)+bc). Ahora, recordemos la estructura de una ecuación cúbica:
X3+BX2+CX+D=(x-a)(x-b)(x-c), entonces,
x3-(a+b+c)X2+(a(b+c)+bc)X-abc=0, donde x1=a, x2=b, x3=c.

Para 5,6,67 X3-78X2+767X-2010=0 con {5,6,67} como solución.

Feliz Año Nuevo para todos.

Como veis, Rafael nos marca varios caminos a partir del 2010, por si deseamos seguir investigando en las propiedades de los números. ¿Os atrevéis?

2 comentarios:

Claudio dijo...

Muy interesante!
Aprovecho para saludarte a ti y también a Rafael por este nuevo año. Que sea con salud y em paz.

Te envio un problema que mando Rodolfo Kurchan a la lista de Snark :

Este simpatico acertijo me lo envio Michael Reid de EEUU.
Colocar los digitos 0, 1, .... , 9, sin repetir en la expresion a^b + c^d + e^f + g^h + i^j para obtener el año actual.

Yo encontré dos soluciones

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Claudio

Visito tu blog a diario, pero no he encontrado tiempo para resolver las cuestiones que propones. A ver si estoy más libre en el nuevo año.

Estudiaré el que figura en tu comentario

Saludos