Es más sencillo demostrar antes la segunda propiedad:
Todo número natural es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000…
Sea el número natural N. Basta considerar el conjunto de N+1 repunits 1, 11, 111, 1111, …..111…(N+1)..11. Si los dividimos todos entre N, como sólo existen N restos posibles habrá dos repunits que produzcan el mismo resto. en la división. Basta restarlos, con lo que obtendremos un múltiplo N, que tendrá la forma pedida: 1111…000…
A partir de ella podemos demostrar la primera:
Todo número natural primo distinto de 2 y 5 es siempre divisor de un repunit 11111….1
Según la propiedad anterior, el número primo N tendrá un múltiplo de la forma 1111…000… =1111…*10*10*10… Al ser primo distinto de 2 y 5 (si es base 10. Si no cambiaríamos la condición), no puede dividir a 10, luego dividirá a 1111… que es el repunit pedido.
¿Te quieres complicar un poco?
Por el Teorema de Fermat, si N es primo distinto de 2 y 5, será coprimo del 10, y se verificará que 10N-1-1 =9999…(N-1)…999 = 9*1111…(N-1)…111 es múltiplo de N. Si N no es 3, dividirá a 1111…(N-1)…111, y si lo es, basta elegir un repunit con un número de unos múltiplo de 3. También hemos descubierto que salvo en el caso del 3, el número de unos del repunit es N-1.
Este razonamiento se aplica de forma similar en otras bases.
4 comentarios:
Un interesante trabajo sobre las propiedades de los enteros con el telón de fondo de los números repunit o "repetiruno".
Para los que no conozcan demasiado el tema, un repunit se "construye"
a partir de (10^n-)/9, que dando valor a n, obtenemos:
(10^1-1)/9=1
(10^2-1)/9=11
(10^3-1)/9=111
(10^4-1)/9=1111
(10^10-1)/=1111111111
También podemos conseguir repeticiones de otros números a partir de k[(10^n-1)/(10-1)] dando valores a k (número a repatir) y n(número de veces que se repite k)
2[(10^2-1)/(10-1)]=22
3[(10^3-1)/(10-1)]=333
4[(10^4-1)/(10-1)]=4444
8[(10^9-1)/(10-1)]=8888888888
Un saludo
Rafael de Barcelona
Gracias como siempre, Rafael.
Sabes complementar muy bien los contenidos y esperamos con interés tus comentarios.
Antonio, me vas a permitir que deje constancia de una propiedad de los repunit.
Sabemos que:
11^2=121 -> 1+2+1=4=2^2
111^2=12321 -> 1+2+3+2+1=9=3^2
1111^2=1234321 -> 2(1+2+3+4)+5=5^2
...............................
111111111^2=12345678987654321
-> 2(1+2+3+4+5+6+7+8)+9=81=9^2
Reconozco que no conocía esta propiedad que me ha sido revelada por un alumno de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Extremadura.
Un saludo
Rafael de Barcelona
Hola, me llamo Néstor, quería dejar en este blog, al hilo de las propiedades de los repunits, una propiedad sobre los divisores de los repunits. Supongamos un repunit de n cifras, y sea p un divisor, sea m1m2...mn un número de n cifras múltiplo de p, entonces las rotaciones mnm1m2...m(n-1), m(n-1)mnm1...m(n-2), ... , m2m3...mnm1, también son múltiplos de p.
Por ejemplo, 7 divide a 111.111, 17.402 es múltiplo de 7, añadamos un 0 delante para completar las 6 cifras: 017.402. Entonces los números 201.740, 020.174, 402.017, 740.201 y 174.020 son también múltiplos de 7.
De hecho, la propiedad funciona para todos los divisores de 9*repunit.
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