lunes, 18 de enero de 2010

Invitación a investigar

El otro día vi en Wikipedia esta curiosa igualdad:

148349 = !1 + !4 + !8 + !3 + !4 + !9

en la que el símbolo !n se interpreta como subfactorial.

Invito a los seguidores de este blog a investigar qué es un subfactorial, de qué problema surge y cómo se calcula.

Con toda esa información podrán comprobar la igualdad propuesta con hoja de cálculo o instrumento similar:

2 comentarios:

Anónimo dijo...

Como Antonio nos invita a investigar, vamos a exponer, de una manera sencilla como se calculan las subfactoriales:
Como podeis comprobar por la información de www.hojamat.es, la forma más habitual es
!n*Suma[(-1)^k/k!,k,0,n] para n=9
1,0,2,9,44,265,1854,14833,133496
pero esto se puede resolver en dos partes.
a) Calculamos las factoriales del 0 a 9: 1,1,2,6,24,120,720,5040,4320,362880
b) Calculamos los inversos mediante
Suma[(-1)^k/k!,k,0,n] para n=9
1,0,1/2,1/3,3/8,11/30,53/144,103/280,2119/5760,16687/45360
Ahora multiplicamos los valores de a) por los valores de b) y obtendremos las subfactoriales.
Otro método muy sencillo es utilizar el valor de e=2,718281828 base de los logaritmos neperianos. Si dividimos la factorial por e, obtenemos
!7=7!/e=1854,1123
!8=8!/e=14832.899
!9=9!/e=1334960,916
Aqui podemos observar que, mientras más pequeña es la factorial, mayor es el error.
Veamos un ejemplo:
Sabemos que !4=9. Si ahora calculamos las combinaciones que se pueden hacer de 4 elementos tomados de 4 en 4, resultan 24
formas, entre las cuales están
{1,2,3,4},{1,2,4,3},{1,3,2,4}
{1,3,4,2},{1,4,2,3},{1,4,3,2}
.............................
{4,1,2,3},{4,1,3,2},{4,2,1,3}
{4,2,3,1},{4,3,1,2},{4,3,2,1}
Si ahora tomamos todas aquellas combinaciones en las que no ha habido intercambio directo, esto es, que la que tenía 2 lo ha entregado a 4 pero lo que tenía 4 lo ha entregado a 3, y no a 2 resulta que nos encontramos con las siguientes subfactoriales:
{2,1,4,3},{2,3,4,1},{2,4,1,3}
{3,1,4,2},{3,4,1,2},{3,4,2,1}
{4,1,2,3},{4,3,1,2},{4,3,2,1}
Nueve combinaciones que son las calculadas inicialmente.
Les recomiendo, aparte las de la wed de Antonio, visitar
www.jumk.de/combinatorics (para ha cer cálculos)
www.mathworld.wolfram.com (para ampliar información)
www.research.att.com (para obtener secuencias)
Este es un tema apasionante que vale la pena investigar.
Rafael de Barcelona

Antonio Roldán Martínez dijo...

Grcias, Rafael

Como siempre, aportas profundidad a las cuestiones. La Combinatoria es muy difícil, pero apasionante, y en este tema de las subfactoriales podemos seguir, tal como propones, varias líneas de conocimiento.

Esperamos poder seguir contando con tus comentarios, que tanto nos enriquecen.