martes, 1 de diciembre de 2009

Una cuestión diofántica

¿Cómo se pueden repartir 5957 objetos en lotes de 161 y de 182 objetos respectivamente, sin que sobre ni falte ninguno?

Puedes usar la fuerza bruta de las hojas de cálculo (tabla de doble entrada, multiplicaciones y sumas hasta ver el total 5957).

También dispones de la herramienta Solver. Aquí tienes una imagen de su planteamiento:


Con estas herramientas obtendrías las soluciones X=11 Y=23

¿Cómo lo resolverías sin ordenador?

Te lo habrás imagnado: en la siguiente entrada haremos una propuesta.

5 comentarios:

Ignacio dijo...

Felicidades por el blog, lo sigo desde hace tiempo aunque no comente. Solo observar que para que de este resultado se tienen que agregar como restricción que sean integer.

Anónimo dijo...

Esta ecuación tendrá solución sí, y sólo sí, el mcd(161,182)=7 divide al coeficiente independiente 5957=851*7.
Tiene solución como 23x+26y=851.
Mediante congruencias, la solución paramétrica es:
X = 11+26t, Y = 23-23t
Dado el valor de Y, sólo admite una solución dentro de los enteros positivos: Para t = 0,
X: 161*11 = 1771
Y: 182*23 = 4186
donde 1771+4186 = 5957
Rafael de Barcelona

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Ignacio y Rafael, por vuestros comentarios y elogios.

Efectivamente, X e Y han de ser enteros,por eso apliqué la cuestión a objetos. Gracias por la advertencia.

Disculpad si los comentarios tardan algo en publicarse, pero es que sólo uso el ordenador en ciertas horas del día.

Dentro de dos o tres días relacionaremos este problema con las fracciones continuas.

Saludos

Anónimo dijo...

Con relación a la solución anterior, debo confesar que cometí un fallo, no es una sino DOS soluciones enteras: Si t=1,
X=161(11+26)=161*37=5957
Y=182(23-23)=182*0 = 0
donde 5957+0 = 5957
Ya que quiere tocar el tema de las fracciones contínuas, si me lo permite, le puedo enviar por correo alguna cosa.
Rafael de Barcelona

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias por tu aportación, Rafael. El tema de las fracciones continuas lo trataré de forma elemental.

Mañana saldrá su uso en ecuaciones diofánticas y más tarde las aproximaciones a irracionales y la ecuación de Pell.

En mi perfil tienes la dirección de correo electrónico.

Muchas gracias por tu interés.