Concurrencias (1)

Quienes seguís este blog os habréis dado cuenta de nuestra preferencia por las concurrencias entre métodos, representaciones o técnicas. Ahí tenéis una:

¿Qué tiene que ver esta imagen


con esta propiedad


y con este experimento?:

Toma un número cualquiera, lo descompones en dos sumandos como quieras, y multiplícalos. Vuelve a descomponer los sumandos al azar cada uno en otros dos más pequeños y multiplícalos también. Sigue así con todos los números mayores que 1. Lo hagas como lo hagas, si sumas todos esos productos obtendrás siempre la misma suma. ¿Cuál? ¿Cómo se demuestra?

Ejemplo:

12 = 7+5 (7*5=35)
7=5+2 (5*2=10) 5=4+1 (4*1=4)
5=3+2 (3*2=6) 2=1+1 (1*1=1) 4=2+2 (2*2=4)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)

Suma = 35+10+4+6+1+4+2+1+1+1+1 = 66

12 = 6+6 (6*6=36)
6=5+1 (5*1=5) 6=3+3 (3*3=9)
5=3+2 (3*2=6) 3=2+1 (2*1=2) 3=2+1 (2*1=2)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)
Suma = 36+5+9+6+2+2+2+1+1+1+1 = 66