viernes, 9 de octubre de 2009

Solver nos ayuda en un problema

Hemos leído el siguiente problema en el blog “Problemas matemáticos”
(http://problemate.blogspot.com)

La igualdad 2008 = 1111 + 444 + 222 + 99 + 77 + 55 es un ejemplo de descomposición del número 2008 como suma de números distintos de más de una cifra, cuya representación (en el sistema decimal) utiliza un sólo dígito.
i) Encontrar una descomposición de este tipo para el número 2009.
ii) Determinar para el número 2009 todas las posibles descomposiciones de este tipo que utilizan el menor número posible de sumandos (el orden de los sumandos no se tiene en cuenta).

Nos ha parecido de interés para comentar las posibilidades de la herramienta Solver, tanto de Excel como de Calc (tan sólo se diferencian en pequeños detalles) para ayudarnos a encontrar una de las descomposiciones pedidas.

Este problema se puede plantear a partir de esta ecuación diofántica: N=1111x+111y+11z (si N es un número de cuatro cifras), para una vez hallados x,y , z, descomponerlos en números de una cifra del 1 al 9, para cumplir lo pedido por el problema.

Para ello podemos escribir en la hoja de cálculo y en columna, tres conjeturas para esas variables, supongamos que en las celdas G4, G5 y G6. Después, en la G7 escribimos la fórmula =1111*G4+111*G5+11*G6. Esta celda es la que deseamos que tenga el valor 2009, según pide el problema.

Elegimos la herramienta Solver, en la que concretaremos estos datos:

  • Los contenidos de las celdas han de ser enteros positivos
  • Como tipo de resolución no elegimos máximo o mínimo, sino un valor concreto
  • La celda G7 ha de tener el valor 2009, por ejemplo
En la imagen puedes estudiar el proceso de resolución



La solución obtenida, X=1, Y=7, Z=11 se puede descomponer, por ejemplo, en
2009=1111+777+66+55

Puede darte un valor de z mayor que 101, con lo que podemos pasar parte del mismo a X, ya que 1111=101*11

Como ves, el método te demanda unos ajustillos posteriores, pero es curioso que Solver ayude en este tipo de cuestiones.

No hay comentarios: