lunes, 14 de septiembre de 2009

Multicombinatorios (2)

La solución de la propuesta de la entrada anterior es el número 3003, porque


Para llegar a esta solución con hoja de cálculo existen dos caminos:

(A) Se forma el triángulo de Tartaglia. Puedes usar las hojas de cálculo contenidas en la página http://www.hojamat.es. (Ver apartado de Herramientas de Combinatoria)

Se selecciona todo el rango del triángulo y se le asigna el nombre de tartaglia.

Con la función =CONTAR.SI(tartaglia;3003) se buscan las veces en las que aparece el 3003 u otro número cualquiera que desees probar. incluso puedes escribir los números en columna y aplicar la fórmula reiteradamente.

Con este procedimiento puedes encontrar otros números “multicombinatorios”, como 120, 210, 1540, 7140, etc. Sus descomposiciones en factores primos nos pueden dar una pista del porqué de su propiedad.

120= 2*2*2*3*5; 210=2*3*5*7; 1540=2*5*7*11; 3003=3*7*11*13; 7140=2*3*5*7*17

La gran variedad de su factores primos hace que estos números puedan aparecer en cocientes de factoriales, como los usados en los números combinatorios.

(B) Se puede organizar una búsqueda en Basic.

Como el código es un poco largo, sólo daremos una idea de su construcción.

(1) Para cada número N a probar se organiza un bucle doble FOR-NEXT para el índice superior m del número combinatorio y para k el inferior

El índice m recorrerá los valores entre 1 y N, porque tiene que ser menor o igual que él.
El índice k recorrerá todos los valores hasta que el número combinatorio iguale o sobrepase a N.

Estas dos estrategias se basan en el carácter creciente de los números combinatorios salvo simetrías.

Para cada valor concreto de N se cuentan las veces en las que los valores m y k producen un número combinatorio igual a N. Se pueden eliminar los casos triviales y los simétricos.

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