jueves, 23 de abril de 2009

Algoritmo derivado de un problema (2)

Una de las características más elegantes de las Matemáticas es la concurrencia de resultados procedentes de métodos muy distintos. Basta recordar, por ejemplo, las demostraciones que existen del teorema de Pitágoras procedentes de planteamientos muy variados.

En la entrada anterior considerábamos un algoritmo que resolviera este problema:

Encontrar un número entero que termine en 6, y que si esa cifra 6 se mueve hasta situarse delante del resto del número el resultado equivale a multiplicar ese número por 4: 6abc..de=4*abc..de6

Hoy intentaremos un planteamiento más algebraico. En lugar del 6 consideraremos cualquier cifra a entre 2 y 9 (el 0 y el 1 dan casos triviales) y llamaremos b al número formado por el resto de cifras. Así, el número que debemos buscar se puede expresar como 10b+a. Llamemos N al factor por el que hay que multiplicar ese número. Si se cumplen las condiciones del problema se podrá escribir

N(10b+a) =10xa+b, siendo x el número de cifras de b

Despejando: (10N-1)b=(10x-N)a

Serán soluciones del problema (no todas) las procedentes de la condición de que 10N-1 sea divisor de 10x-N, que estará formado por varios 99…9 seguidos de la cifra 10-N.

Podemos ir probando los valores de N, con lo que 10N-1 irá teniendo el valor de 9,19,29,…89, y deberán ser divisores de 10x-N. Es fácil programarlo en una hoja de cálculo. En la siguiente tabla se han descubierto tres posibilidades (si siguiéramos encontraríamos más)


El primer 1 corresponde a N=4 y expresa que 99996 es divisible entre 39. Si multiplicamos su cociente 2564 por las distintas cifras, nos resultarán valores de b, y por tanto soluciones del problema: 102564*4 = 410256; 128205*4 = 512820; 153846*4 = 615384 (Esta es la solución para el enunciado de arriba). Intenta encontrar más.

El segundo 1 nos da otras soluciones con más cifras: 99999999996/39=2564102564, que al multiplicar por a y añadirle una cifra nos devuelve más soluciones, por ejemplo:

128205128205*4 = 512820512820

Prueba a obtener soluciones del último 1, que corresponde a N=8

Este método no agota las soluciones, pues 10N-1 puede tener factores comunes con a que alteren las condiciones, pero ya está bien por hoy.

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