lunes, 29 de septiembre de 2008

Dándole vueltas (1)

Con esta entrada se inicia una serie dedicada a estudiar problemas de tipo medio o superior, generalizándolos o buscando nuevos aspectos o variantes de los mismos.

Partimos hoy de un problema incluido en el libro “Concurso intercentros de Matemáticas”, de Joaquín Hernández y Juan Jesús Donaire.

Encuentra razonadamente un número positivo “n” tal que la suma de “n” y la suma de sus cifras, resulte ser 379”

No es muy difícil encontrar la solución, 365, aunque el razonamiento debe ser cuidadoso.

¿Sería posible crear un algoritmo que resolviera el problema para cualquier otro número de tres cifras distinto del 379? Por ejemplo, para 832 la solución sería n=821.

El problema radica en que para algunos datos, como 717, existen dos soluciones, que en este caso serían 696 y 705, ya que 696+6+9+6 = 717 y 705+7+0+5=717. Para más complicación, existen datos que no producen ninguna solución, como 222.

Proponemos algunos estudios sobre este problema:

(1) Encontrar un algoritmo que resuelva la cuestión para números de tres cifras (quizás deba tener dos partes). La siguiente imagen recoge uno:











(2) ¿Existirá alguna caracterización para aquellos números que admitan, como 717 o 218, dos soluciones?

(3) ¿Se podrá encontrar, igualmente, alguna condición que cumplan los números que no producen soluciones, como 198 o 266?

Te puede ayudar el estudio de las igualdades del tipo 101X+11Y+2Z = N, y también la construcción de tablas con hoja de cálculo como la que sigue, pero no la construyas de forma manual, sino con las fórmulas adecuadas.



3 comentarios:

Unknown dijo...

Sería interesante la construcción de una tabla desde el 100 al 999. Daría como resultado 899 números de tres cifras y muchos se repetirían. A partir de aquí se pueden encontrar cuáles tienen solución (y cuántas soluciones tienen) y cuáles no. Un trabajo curioso para el aula.

Aunque un estudico combinatorio sería más corto, a ver si pienso cómo hacerlo.

Me ha encantado la propuesta.

Unknown dijo...

Error en mi comentario anterior, no todas las cifras arrojarán números de tres dígitos, qué ida de cabeza. Luego las soluciones son todavía más escasas.

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Eugenio Manuel

Efectivamente, yo construí una tabla similar a la que propones, y entre ella y la expresión 101X+11Y+2Z se puede analizar mejor el problema. Resultan muchos unos, porque la mayoría presenta una sola solución. Gracias