sábado, 30 de agosto de 2008

Propuestas en ramas (I)

Iniciamos la metodología de "propuestas en ramas" con una colección de propuestas derivadas de un teorema contenido en el libro “Recreaciones matemáticas 2” de Édouard Lucas:

“El número total de puntos de un juego completo de dominós jamás es igual al cuadrado de un número entero”

A veces una propuesta sencilla da lugar a múltiples preguntas. El papel del matemático es el hacerse esas preguntas, aunque no sepa responderlas. En este caso nos podríamos plantear: ¿A qué llamamos dominó de n números? ¿Cuál es la fórmula que nos da el número de fichas? ¿Y el número de puntos? ¿Por qué Lucas afirma que no son cuadrados perfectos?...

Lo bueno de este planteamiento es que cada vez que se responde a una cuestión aparecen otras preguntas, con lo que habremos construido un verdadero árbol con tantas ramas como nuestra imaginación conciba. En este ejemplo se abrirían múltiples ramas. Los lectores quedan invitados a recorrerlas y a inventar otras nuevas:

¿Qué es un dominó de número máximo n? (Lo nombraremos como n-dominó)

Intentar una definición formal, sin olvidar los “blancos”.

Nuestro dominó usual se corresponde con n=6 (Un 6-dominó).

Se compone de 28 fichas, con una media de 6 puntos por ficha y un número total de puntos de 168 (demostrarlo)

¿Cuántas fichas y puntos presenta un n-dominó?


El número de fichas viene dado por la expresión n(n+1)/2 y el de puntos por n(n+1)(n+2)/2 (demostrarlo).

¿Es cierta la afirmación de Lucas?

Intenta demostrarla considerando cómo se reparten los factores primos del cuadrado perfecto entre los factores n(n+1)(n+2)/2

(Continuará otro día)

De una afirmación simple hemos derivado multitud de cuestiones. Unas sabremos demostrarlas, y otras tendrán que quedarse en conjeturas, pero su estudio constituirá una verdadera aventura matemática.

En otro momento propondremos esta metodología para hojas de trabajo en Enseñanza Secundaria.


2 comentarios:

Juan Luis dijo...

Interesante propuesta (a partir de un libro también muy interesante)...

Saludos lúdicos

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Eugenio. Sehará lo que se pueda.